Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-2，0），點B在x軸的正半軸上，點M在y軸的負半軸上，且|AB|=6，cos∠OBM=

5

5

，點C是M關于x軸的對稱點．
（1）求過A、B、C三點的拋物線的函數表達式及其頂點D的坐標；
（2）設直線CD交x軸于點E，在線段OB的垂直平分線上求一點P，使點P到直線CD的距離等于點P到原點的O距離；
（3）在直線CD上方（1）中的拋物線（不包括C、D）上是否存在點N，使四邊形NCOD的面積最大？若存在，求出點N的坐標及該四邊形面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）易知A（-2，0），B（4，0），C（0，8）．
設拋物線的函數表達式為y=a（x+2）（x-4）．
將C（0，8）代入，得a=-1．
∴過A、B、C三點的拋物線的函數表達式為：y=-x²+2x+8．
y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
∴頂點為D（1，9）．

（2）如圖1，假設存在滿足條件的點P，依題意，設P（2，t）．
由C（0，8），D（1，9）得直線CD的函數表達式為：y=x+8．
設直線CD交x軸于點E，則E（-8，0）．
∴CO=8=OE，∴∠DEO=45°．
設OB的中垂線交CD于H，交x軸于點G．
∴在Rt△HPF中，∠FHP=45°=∠HPF．
點P到CD的距離PF=

2

2

|10-t|．
又PO=

t2+22

=

t2+4

．
∵PF=PO，
∴

t2+4

=

2

2

|10-t|．
化簡，得t²+20t-92=0，
解得t=-10±8

3

．
∴存在點P₁（2，-10+8

3

），P₂（2，-10-8

3

）滿足條件．

（3）如圖2，過點N作直線NQ∥x軸交CD于點Q．設N（k，-k²+2k+8）．
∵直線CD的函數表達式為y=x+8，
∴Q（-k²+2k，-k²+2k+8）．
∴QN=|-k²+2k-k|=-k²+k．
S_△CND=S_△NQD+S_△NQC
=

1

2

NQ•|y_D-y_Q|+

1

2

NQ•|y_Q-y_C|
=

1

2

（-k²+k）•|9-（-k²+2k+8）|+

1

2

（-k²+k）•|-k²+2k+8-8|
=

1

2

（-k²+k）（9+k²-2k-8-k²+2k）
=

1

2

（-k²+k）．
而S_{四邊形NCOD}=S_△CND+S_△COD
=

1

2

（-k²+k）+

1

2

CO•|x_D|
=

1

2

（-k²+k）+

1

2

× 8×1
=-

1

2

k²+

1

2

k+4
=-

1

2

（k-

1

2

）²+

33

8

．
∴當k=

1

2

時，四邊形面積的最大為

33

8

，
此時N（k，-k²+2k+8）點坐標為：（

1

2

，

35

4

）．