Question

【題目】小明在一次數學興趣小組活動中，對一個數學問題作如下探究：

問題情境：（1）如圖1，四邊形中，，點為邊的中點，連接并延長交的延長線于點，求證：；(表示面積)

問題遷移：（2）如圖2：在已知銳角內有一個定點.過點任意作一條直線分別交射線于點.小明將直線繞著點旋轉的過程中發現，的面積存在最小值，請問當直線在什么位置時，的面積最小，并說明理由．

實際應用：（3）如圖3，若在道路之間有一村莊發生疫情，防疫部門計劃以公路和經過防疫站的一條直線為隔離線，建立個面積最小的三角形隔離區，若測得試求的面積．(結果保留根號)(參考數據：)

拓展延伸：（4）如圖4，在平面直角坐標系中，為坐標原點，點的坐標分別為，過點的直線與四邊形一組對邊相交，將四邊形分成兩個四邊形，求其中以點為頂點的四邊形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當直線旋轉到點是的中點時最小；（3）；（4）10．

【解析】

（1）根據可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S△ADE＝S△FCE就可以得出結論；
（2）根據問題情境的結論可以得出當直線旋轉到點P是MN的中點時S△MON最小，過點M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性質可以得出結論；

（3）如圖3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分別為P1，M1，再根據條件由三角函數值就可以求出結論；

（4）分情況討論當過點P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OC、AB分別交于點M、N，延長OC、AB交于點D，由條件可以得出AD＝6，就可以求出△OAD的面積，再根據問題遷移的結論就可以求出最大值；
當過點P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N，延長CB交x軸于T，由B、C的坐標可得直線BC的解析式，就可以求出T的坐標，從而求出△OCT的面積，再由問題遷移的結論可以求出最大值，通過比較就可以求出結論．

（1）證明：，

點為邊的中點，

，

，

，

即

（2）當直線旋轉到點是的中點時，最小，如圖2，

過點的另一條直線交于點，

設，過點作交于，

由問題情境可以得出當是的中點時．

，

，

當點是的中點時，最小

（3）如圖3，作，垂足分別為，

在中，

，

．

由問題遷移的結論知道，

當時，的面積最小，

．

在中，

，

，

（4）①如圖4，當過點的直線與四邊形的一組對邊分別交于點，延長交于點，

，

，

，

，

由問題遷移的結論可知，當時，的面積最小，

四邊形的面積最大．

作垂足分別為，

點為中點

，

②如圖5，當過點的直線與四邊形的另一組對邊分別交延長交軸于，

，，

設直線的解析式為，由題意，得

，解得

，

當時，，

由問題遷移的結論可知，當時，的面積最小，

四邊形的面積最大．

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

綜上所述：截得四邊形面積的最大值為．