Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB＝10，，點E是點D關于AB的對稱點，M是AB上的一動點，下列結論：①∠BOE＝60°；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM的最小值是10，上述結論中正確的個數是(　　)

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據弧AC=弧CD=弧DB和點E是點D關于AB的對稱點，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判斷①②；根據圓周角定理求出M和A重合時，∠MDE=60°，即可判斷③；根據軸對稱的性質，求出M的位置，根據圓周角定理求出此時CE為直徑，即可得到CE的長，判斷④.

∵弧AC=弧CD=弧DB，

∴∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，

故①正確；

∵AB為直徑，且點E是點D關于AB的對稱點

∴∠E=∠D，AB⊥DE

∴∠CED=∠DOB=30°，

故②正確；

∵M和A重合時，∠MDE=60°，

∴∠MDE+∠E=90°

∴DM⊥CE

故③不正確；

根據軸對稱的性質，可知D與E對稱，連接CE，根據兩點之間線段最短，可知這時的CM+DM最短，

∵∠DOB=∠COD=∠BOE=60°

∴CE為直徑，即CE=10，

故④正確.

故選：C.