Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，對角線AC、BD相交于點O，將對角線AC所在的直線繞點O順時針旋轉角α（0°＜α＜90°）后得直線l，直線l與AD、BC兩邊分別相交于點E和點F．

（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）當α=30°時，求線段EF的長度．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，AO=OC，

∴ ，

∴AE=CF，OE=OF，

在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF．

（2）解：當α=30°時，即∠AOE=30°，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴∠OAD=60°，

∴∠AEO=90°，

在Rt△AOB中，

sin∠ABO= = = ，

∴AO=1，

在Rt△AEO中，

cos∠AOE=cos30°= = ，

∴OE= ，

∴EF=2OE= ．

【解析】（1）首先證明AE=CF，OE=OF，結合AO=CO，利用SSS證明△AOE≌△COF；（2）首先畫出α=30°時的圖形，根據菱形的性質得到EF⊥AD，解三角形即可求出OE的長，進而得到EF的長．