Question

23、如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，B、C、G三點在一條直線上，且邊長分別為2和3，在BG上截取GP=2，連接AP、PF．
（1）觀察猜想AP與PF之間的大小關系，并說明理由；
（2）圖中是否存在通過旋轉、平移、反射等變換能夠互相重合的兩個三角形？若存在，請說明變換過程；若不存在，請說明理由；
（3）若把這個圖形沿著PA、PF剪成三塊，請你把它們拼成一個大正方形，在原圖上畫出示意圖，并請求出這個大正方形的面積．

Answer 1

分析：（1）證AP與PF所在的三角形全等即可；
（2）將（1）中的△ABP先平移后旋轉得到△PGF；
（3）大正方形的面積是由原來的正方形的面積分割而成的，所以等于S_{正方形ABCD的面積}+S_{正方形ECGF的面積}．

解答：解：
（1）猜想PA=PF；
理由：∵正方形ABCD、正方形ECGF，
∴AB=BC=2，CG=FG=3，∠B=∠G=90°，
∵PG=2，
∴BP=2+3-2=3=FG，AB=PG，
∴△ABP≌△PGF，
∴PA=PF．

（2）存在，是△ABP和△PGF，
變換過程：把△ABP先向右平移5個單位，使AB在GF邊上，B與G重合，
再繞G點逆時針旋轉90度，就可與△PGF重合．（答案不唯一）

（3）如圖：
S_{大正方形的面積}=S_{正方形ABCD的面積}+S_{正方形ECGF的面積}=4+9=13．

點評：線段相等通常是證明線段所在的三角形全等，圖形的變換要根據全等三角形來判定．