Question

（2013年四川南充8分）如圖，公路AB為東西走向，在點(diǎn)A北偏東36.5°方向上，距離5千米處是村莊M；在點(diǎn)A北偏東53.5°方向上，距離10千米處是村莊N（參考數(shù)據(jù)：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75）.

（1）求M，N兩村之間的距離；
（2）要在公路AB旁修建一個(gè)土特產(chǎn)收購(gòu)站P，使得M，N兩村到P站的距離之和最短，求這個(gè)最短距離。

Answer 1

解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)M作CD∥AB，NE⊥AB。

在Rt△ACM中，∠CAM=36.5°，AM=5，
∴。∴CM＝3，AC＝4。
在Rt△ANE中， ∠NAE=90°－53.5°=36.5°，AN=10，
∴。∴NE＝6，AE＝8。
在Rt△MND中，MD＝5，ND＝2，
∴(km) 。
（2）作點(diǎn)N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G，連接MG交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為站點(diǎn)。
∴PM＋PN＝PM＋PG＝MG。
在Rt△MDG中， (km) ，
∴最短距離為 km 。

（1）過(guò)點(diǎn)M作CD∥AB，NE⊥AB，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△ANE中求出NE，AE，繼而得出MD，ND的長(zhǎng)度，在Rt△MND中利用勾股定理可得出MN的長(zhǎng)度，
（2）作點(diǎn)N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G，連接MG交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為站點(diǎn)，求出MG的長(zhǎng)度即可。