Question

【題目】直線AB∥CD，點M，N分別在直線AB，CD上，點E為平面內一點．

(1)如圖①，探究∠AME，∠MEN，∠ENC的數量關系，并說明理由；

(2)如圖②，∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求∠FEQ的度數；

（3）如圖③，點G為CD上一點，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，EH∥MN交AB于點H，直接寫出∠GEK，∠BMN，∠GEH之間的數量關系(用含m的式子表示)．

Answer 1

【答案】（1）∠MEN=∠AME+∠ENC，見解析；（2）∠FEQ=15°；（3）∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．

【解析】

（1）過點E作l∥AB，利用平行線的性質可得∠1=∠BME，∠2=∠DNE，由∠MEN=∠1+∠2，等量代換可得結論；
（2）利用角平分線的性質可得∠NEF=∠MEN，∠ENP=∠END，由EQ∥NP，可得∠QEN=∠ENP=∠ENC，由（1）的結論可得∠MEN=∠AME+∠ENC，等量代換得出結論；
（3）由已知可得∠EMN=∠BMN，∠GEN=∠GEK，由EH∥MN，可得∠HEM=∠ENM=

∠AMN，因為∠GEH=∠GEM-∠HEM，等量代換得出結論．

解：(1)過點E作l∥AB，

∵AB∥CD，∴l∥AB∥CD

∴∠1=∠AME，∠2=∠CNE．

∵∠MEN=∠1+∠2，

∴∠MEN=∠AME+∠ENC；

（2）∵EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，

∴∠NEF=∠MEN，∠ENP=∠ENC．

∵EQ∥NP，∴∠QEN=∠ENP=∠ENC．

由（1）可得∠MEN=∠AME+∠ENC，∴∠MEN-∠ENC=∠AME=30°．

∴∠FEQ=∠NEF-∠NEQ=（∠MEN-∠ENC）=×30°=15°；

(3)∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．理由如下：

∵∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，

∴∠EMN=∠AMN，∠GEM=∠GEK．

∵EH∥MN，∴∠HEM=∠EMN=∠AMN．

∵∠GEH=∠GEM-∠HEM=∠GEK-∠AMN，

∴m∠GEH=∠GEK-∠AMN．

∵∠BMN+∠AMN=180°，

∴∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．