Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，AB=15，動點P從點A出發，沿AC→CB→BA邊運動，點P在AC、CB、BA邊上運動的速度分別為每秒3、4、5個單位，直線l從與AC重合的位置開始，以每秒 個單位的速度沿CB方向移動，移動過程中保持l∥AC，且分別與CB，AB邊交于E，F兩點，點P與直線l同時出發，設運動的時間為t秒，當點P第一次回到點A時，點P和直線l同時停止運動．

（1）當t=秒時，△PCE是等腰直角三角形；
（2）當點P在AC邊上運動時，將△PEF繞點E逆時針旋轉，使得點P的對應點P1落在EF上，點F的對應點為F1 ， 當EF1⊥AB時，求t的值；
（3）作點P關于直線EF的對稱點Q，在運動過程中，若形成的四邊形PEQF為菱形，求t的值；
（4）在整個運動過程中，設△PEF的面積為S，請直接寫出S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）

解：如圖1，

由題意，∠PEF=∠P1EF1，

∵EF∥AC，∠C=90°，

∴∠BEF=90°，

∠CPE=∠PEF，

∵EF1⊥AB，

∴∠B=∠P1EF1，

∴∠CPE=∠B，

∴tan∠CPE=tanB= = ，

∵tan∠CPE= ，

∴ = ，

∴CP= CE，

∵AP=3t（0＜t＜3），CE= t，

∴CP=9﹣3t，

∴9﹣3t= × t，解得t= ．

（3）

解：如圖2，連接PQ交EF于點O，

∵P、Q關于直線EF對稱，

∴EF垂直平分PQ，

若四邊形PEQF為菱形，則OE=OF= EF

①當點P在AC邊上運動時，

易知四邊形POEC為矩形，

∴OE=PC，

∴PC= EF，

∵CE= t，

∴BE=12﹣ t，EF=BEtanB= （12﹣ t）=9﹣t，

∴9﹣3t= （9﹣t），解得t= ．

②當點P在CB邊上運動時，P、E、Q三點共線，不存在四邊形PEQF；

③如圖3，當點P在BA邊上運動時，則點P在點B、F之間，

∵BE=12﹣ t，

∴BF= = （12﹣ t）=15﹣ t，

∵BP=5（t﹣6），

∴PF=BF﹣BP=15﹣ t﹣5（t﹣6）=45﹣ t，

∵∠POF=∠BEF=90°，

∴PO∥BE，

∴∠OPF=∠B，

在Rt△POF中，sin∠OPF=sinB，

∴ = ，

∴ ，解得t= ．

∴當t= 或t= 時，四邊形PEQF為菱形．

（4）

解：在Rt△ABC中，根據勾股定理，得，BC=12，

當點P在邊AC上時，0≤t≤3，

當點P在邊BC上時，

點P和點E重合時，4（t﹣3）= t，

∴t=4.5，

當P剛好到點B時，t=6，

當點P在邊AB上時，且和點F重合時，

∵l∥AC，

∴△BEF∽△BCA，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴t=6.75，

①當0≤t≤6時，如圖4，

由運動知，CE= t，

∴BE=12﹣ t，

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BCA，

∴ ，

∴ ，

∴EF=9﹣t，

∴S△PEF= EFCE= （9﹣t）× t=﹣ （t﹣ ）2+ ，

此時當t=3時，S△PEF最大=﹣ （3﹣ ）2+ =12，

②當3＜t＜4.5時，如圖5，

由運動知，PE= t﹣4（t﹣3）=﹣ t+12，

∴S△PEF= EFPE= （9﹣t）（﹣ t+12）= t2﹣18t+54，

此時不存在最大值，

③當4.5＜t≤6時，如圖6，

同②的方法，得，S△PEF=﹣ t2+18t﹣54=﹣ （t﹣ ）2+

此時，當t=6時，S△PEF最大=6，

④當6＜t＜6.75時，如圖7，

在Rt△ABC中，sin∠B= = = ，

在Rt△BEQ中，sin∠B= = = ，

∴QE= （36﹣4t），在Rt△BEF中，sin∠B= = = ，

∴BF= （9﹣t），

∴PF=BF﹣BP= （9﹣t）﹣5（t﹣6）=45﹣ t

S△PEF= PFQE= t2﹣42t+162，

此時不存在最大值；

⑤當6.75＜t＜9時，如圖8，

同④的方法，得，S△PEF=﹣ t2+42t﹣162，

由于對稱軸t= ＞9，

∴此時取不到最大值，

∴在整個運動過程中，S的最大值為12．

【解析】解：（1）由運動知，CE= t，AP=3t，
∵AC=9，
∴PC=9﹣3t，
∵△PCE是等腰直角三角形，
∴PC=EC，
∴9﹣3t= t．
∴t= ，
故答案為： ；
（1）直接利用等腰直角三角形的性質建立方程即可；（2）先求出CP= CE，進而得出CP=9﹣3t，最后建立方程求解即可；（3）分三種情況，利用直角三角形中，利用銳角三角函數建立方程求解即可；（4）分5中情況利用三角形的面積公式求出各段面積與時間的函數關系式，最后比較即可得出結論．