Question

【題目】閱讀理解：如圖1，在△ABC中，當DE∥BC時可以得到三組成比例線段：① ；② ；③ ．反之，當對應線段程比例時也可以推出DE∥BC．

理解運用：三角形的內接四邊形是指頂點在三角形各邊上的四邊形．

（1）如圖2，已知矩形DEFG是△ABC的一個內接矩形，將矩形DEFG沿CB方向向左平移得矩形PBQH，其中頂點D、E、F、G的對應點分別為P、B、Q、H，在圖2中畫出平移后的圖形；

（2）在（1）所得的圖形中，連接CH并延長交BP的延長線于點R，連接AR．求證：AR∥BC；

（3）如圖3，某小區有一塊三角形空地，已知△ABC空地的邊AB=400米，BC=600米，∠ABC=45°；準備在△ABC內建一個內接矩形廣場DEFG（點E、F在邊BC上，點D、G分別在邊AB和AC上），三角形其余部分進行植被綠化，按要求欲使矩形DEFG的對角線EG最短，請在備用圖中畫出使對角線EG最短的矩形．并求出對角線EG的最短距離（不要求證明）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）圖形見解析，最短距離為

【解析】

（1）根據題意，利用平移的性質畫出矩形PBQH即可；

（2）如圖1中，連接CH并延長交BP的延長線于點R，連接AR，利用平行線分線段成比例，由PH∥BC，DG∥BC，可得對應線段成比例，再由PH=DG可證RH，BC，AG，AC四條線段對應成比例，可得到AR∥GH，再由HG∥BC，利用平行線的傳遞性，可證得結論；

（3）如圖2中，作AR∥BC．BR⊥BC，連接CR，作BH⊥CR，過點H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G，作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F ，易得到四邊形DEFG是矩形，此時矩形的對角線最短即就是EG的長，利用勾股定理求出GR的長，再求出BH的長，然后利用平行四邊形的對邊相等，可求出EG的長．

（1）解：矩形PBQH如圖1所示

（2）解：如圖1中，連接CH并延長交BP的延長線于點R，連接AR

∵PH∥BC，

∴

∵DG∥BC，

∴

∵PH=DG，

∴

∴AR∥HG，

∵HG∥BC，

∴AR∥BC

（3）解：如圖2中，作AR∥BC．BR⊥BC，連接CR，作BH⊥CR，過點H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G，作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F

則四邊形DEFG是矩形，此時矩形的對角線最短（BH是垂線段，垂線段最短，易證EG=BH，故此時矩形的對角線EG最短）．

在Rt△RBC中，

∵BC=600，BR=200

∴CR=

∴BH=

由（2）可知EG=BH=．