Question

【題目】我們把能平分四邊形面積的直線稱為“好線”．利用下面的作圖，可以得到四邊形的“好線”：在四邊形ABCD（圖2）中，取對角線BD的中點O，連接OA、OC．得折線AOC，再過點O作OE∥AC交CD于E，則直線AE即為四邊形ABCD的一條“好線”．

（1）如圖（1），試說明中線AD平分△ABC的面積；
（2）如圖（2），請你探究四邊形ABCO的面積和四邊形ABCD面積的關系，并說明理由；
（3）解：在圖（2）中，請你說明直線AE是四邊形ABCD的一條“好線”；
（4）如圖（3），若AE為一條“好線”，F為AD邊上的一點，請作出四邊形ABCD經過F點的“好線”，并對你的畫圖作適當說明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，作AH⊥BC于H．

∵AD是中線，

∴BD=CD，

∴S△ABD= BDAH，S△ADC= DCAH，

∴S△ABD=S△ADC，

∴中線AD平分△ABC的面積．

（2）

解：結論：S四邊形ABCO= S四邊形ABCD．

如圖2中，

理由：由（1）知，S△AOB=S△AOD，S△BOC=S△DOC，

∴

∴S四邊形ABCO= S四邊形ABCD．

（3）

如圖2中，設AE交OC于F．

∵OE∥AC，

∴S△AOE=S△COE，

∴S△AOF=S△CEF，

又因為（2）知，折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，

∴直線AE平分四邊形ABCD的面積，即AE是四邊形ABCD的一條“好線”．

（4）

解：連接EF，過A作EF的平行線交CD于點G，連接FG，則GF為一條“好線”．

∵AG∥EF，

∴S△AGE=S△AFG．

設AE與FG的交點是O．則S△AOF=S△GOE，

又AE為一條“好線”，所以GF為一條“好線”．

【解析】（1）如圖1中，作AH⊥BC于H．由S△ABD= BDAH，S△ADC= DCAH，因為BD=CD，所以S△ABD=S△ADC；（2）利用（1）中結論可以證明S四邊形ABCO= S四邊形ABCD；（3）設AE交OC于F．由OE∥AC，推出S△AOE=S△COE ， 推出S△AOF=S△CEF ， 又因為（2）知，折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，即可推出直線AE平分四邊形ABCD的面積；（4）連接EF，過A作EF的平行線交CD于點G，連接FG，則GF為一條“好線”．由AG∥EF，推出S△AGE=S△AFG ． 設AE與FG的交點是O．則S△AOF=S△GOE ， 又AE為一條“好線”，所以GF為一條“好線”；