Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，

（1）求作⊙O，圓心O是AD的中垂線與AB的交點，OD為半徑．（尺規作圖，不寫作法，保留痕跡）

（2）求證：BC是⊙O切線．

（3）若BD=5，DC=3，求AC的長．

Answer 1

【答案】(1)作圖見解析；（2）證明見解析；（3）6.

【解析】

（1）由中垂線的尺規作圖得到點O，再作圓即可；

（2）要證BC是⊙O的切線，只要連接OD，再證OD⊥BC即可．

（3）過點D作DE⊥AB，根據角平分線的性質可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的長，再通過證明△BDE∽△BAC，根據相似三角形的性質得出AC的長．

解：（1）如圖，⊙O即為所求；

（2）∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠1=∠3．

∵OA=OD，

∴∠1=∠2．

∴∠2=∠3．

∴OD∥AC，

∴∠ODB=∠ACB=90°．

∴OD⊥BC．

∴BC是⊙O切線．

（3）過點D作DE⊥AB，

∵AD是∠BAC的平分線，

∴CD=DE=3．

在Rt△BDE中，∠BED=90°，

由勾股定理得：

∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，

∴△BDE∽△BAC．

∴

∴

∴AC=6．