Question

如圖，二次函數y=ax²+bx（a＜0）的圖象過坐標原點O，與x軸的負半軸交于點A，過A點的直線與y軸交于B，與二次函數的圖象交于另一點C，且C點的橫坐標為﹣1，AC：BC=3：1．
（1）求點A的坐標；
（2）設二次函數圖象的頂點為F，其對稱軸與直線AB及x軸分別交于點D和點E，若△FCD與△AED相似，求此二次函數的關系式．

Answer 1

（1）（﹣4，0）；（2）y=﹣x²﹣4x．

解析試題分析：（1）過點C作CM∥OA交y軸于M，則△BCM∽△BAO，根據相似三角形對應邊成比例得出，即OA=4CM=4，由此得出點A的坐標為（﹣4，0）.
（2）先將A（﹣4，0）代入y=ax²+bx，化簡得出b=4a，即y=ax²+4ax，則頂點F（﹣2，﹣4a），設直線AB的解析式為y=kx+n，將A（﹣4，0）代入，化簡得n=4k，即直線AB的解析式為y=kx+4k，則B點（0，4k），D（﹣2，2k），C（﹣1，3k）．由C（﹣1，3k）在拋物線y=ax²+4ax上，得出3k=a﹣4a，化簡得到k=﹣a．再由△FCD與直角△AED相似，則△FCD是直角三角形，又∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，得出∠FCD=90°，△FCD∽△AED．再根據兩點之間的距離公式得出FC²=CD²=1+a²，得出△FCD是等腰直角三角形，則△AED也是等腰直角三角形，所以∠DAE=45°，由三角形內角和定理求出∠OBA=45°，那么OB=OA=4，即4k=4，求出k=1，a=﹣1，進而得到此二次函數的關系式為y=﹣x²﹣4x．
試題解析：解：（1）如答圖，過點C作CM∥OA交y軸于M．
∵AC：BC=3：1，∴．
∵CM∥OA，∴△BCM∽△BAO.∴.
∵C點的橫坐標為﹣1，∴CM=1.∴OA=4CM=4.
∴點A的坐標為（﹣4，0）.
（2）∵二次函數y=ax²+bx（a＜0）的圖象過A點（﹣4，0），
∴16a﹣4b=0.∴b=4a.
∴y=ax²+4ax，對稱軸為直線x=﹣2，F點坐標為（﹣2，﹣4a）．
設直線AB的解析式為y=kx+n，將A（﹣4，0）代入，得﹣4k+n=0，∴n=4k.
∴直線AB的解析式為y=kx+4k.
∴B點坐標為（0，4k），D點坐標為（﹣2，2k），C點坐標為（﹣1，3k）．
∵C（﹣1，3k）在拋物線y=ax²+4ax上，∴3k=a﹣4a，∴k=﹣a．
∵△AED中，∠AED=90°，
∴若△FCD與△AED相似，則△FCD是直角三角形.
∵∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，∴∠FCD=90°.
∴△FCD∽△AED．
∵F（﹣2，﹣4a），C（﹣1，3k），D（﹣2，2k），k=﹣a，
∴FC²=（﹣1+2）²+（3k+4a）²=1+a²，CD²=（﹣2+1）²+（2k﹣3k）²=1+a².
∴FC=CD.∴△FCD是等腰直角三角形.∴△AED是等腰直角三角形.
∴∠DAE=45°.∴∠OBA=45°.∴OB=OA=4.
∴4k=4.∴k=1.∴a=﹣1.
∴此二次函數的關系式為y=﹣x²﹣4x．

考點：1.二次函數綜合題；2.曲線上點的坐標與方程的關系；3.待定系數法的應用；4.二次函數的性質；5.相似三角形的判定和性質；6.等腰直角三角形的判定和性質．