Question

如圖，矩形OABC在平面直角坐標系xoy中，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=4,OC=3，若拋物線的頂點在BC邊上，且拋物線經過O、A兩點，直線AC交拋物線于點D。
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點D的坐標；
（3）若點M在拋物線上，點N在x軸上，是否存在以點A、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）y=﹣x²+3x；（2）（1，）；（3）N₁（2，0），N₂（6，0），N₃（﹣﹣1，0），N₄（﹣1，0）．

解析試題分析：（1）由OA的長度確定出A的坐標，再利用對稱性得到頂點坐標，設出拋物線的頂點形式y=a（x-2）2+3，將A的坐標代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）設直線AC解析式為y=kx+b，將A與C坐標代入求出k與b的值，確定出直線AC解析式，與拋物線解析式聯立即可求出D的坐標；
（3）存在，分兩種情況考慮：如圖所示，當四邊形ADMN為平行四邊形時，DM∥AN，DM=AN，由對稱性得到M（3， ），即DM=2，故AN=2，根據OA+AN求出ON的長，即可確定出N的坐標；當四邊形ADM′N′為平行四邊形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=，N′P=AQ=3，將y=-代入得：-=-x²+3x，求出x的值，確定出OP的長，由OP+PN′求出ON′的長即可確定出N′坐標．
試題解析：（1）設拋物線頂點為E，根據題意OA=4，OC=3，得：E（2，3），
設拋物線解析式為y=a（x﹣2）²+3，
將A（4，0）坐標代入得：0=4a+3，即a=﹣，
則拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）²+3=﹣x²+3x；
（2）設直線AC解析式為y=kx+b（k≠0），
將A（4，0）與C（0，3）代入得：，
解得：，故直線AC解析式為y=﹣x+3，
與拋物線解析式聯立得：，解得：或，
則點D坐標為（1，）；
（3）存在，分兩種情況考慮：
①當點M在x軸上方時，如答圖1所示：

四邊形ADMN為平行四邊形，DM∥AN，DM=AN，
由對稱性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，∴N₁（2，0），N₂（6，0）；
②當點M在x軸下方時，如答圖2所示：

過點D作DQ⊥x軸于點Q，過點M作MP⊥x軸于點P，可得△ADQ≌△NMP，
∴MP=DQ=，NP=AQ=3，將y_M=﹣代入拋物線解析式得：﹣=﹣x²+3x，
解得：x_M=2﹣或x_M=2+，∴x_N=x_M﹣3=﹣﹣1或﹣1，
∴N₃（﹣﹣1，0），N₄（﹣1，0）．
綜上所述，滿足條件的點N有四個：N₁（2，0），N₂（6，0），N₃（﹣﹣1，0），N₄（﹣1，0）．
考點：二次函數綜合題．