Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90°得到平行四邊形A′B′OC′．拋物線y＝﹣x2+2x+3經過點A、C、A′三點．

（1）求A、A′、C三點的坐標；

（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A′B′OC′重疊部分△C′OD的面積；

（3）點M是第一象限內拋物線上的一動點，問點M在何處時，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并寫出此時M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）C（﹣1，0），A′（3，0），A（0，3）；（2）；（3）S△AMA′＝＝﹣（m﹣）2+，∴當m＝時，S△AMA'的值最大，最大值為，此時M點坐標為（，）．

【解析】

（1）利用拋物線與x軸的交點問題可求出C（﹣1，0），A′（3，0）；計算自變量為0時的函數值可得到A（0，3）；

（2）先由平行四邊形的性質得AB∥OC，AB＝OC，易得B（1，3），根據勾股定理和三角形面積公式得到OB＝，S△AOB＝，再根據旋轉的性質得∠ACO＝∠OC′D，OC′＝OC＝1，接著證明△C′OD∽△BOA，利用相似三角形的性質得＝()2，則可計算出S△C′OD；

（3）根據二次函數圖象上點的坐標特征，設M點的坐標為（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜3，作MN∥y軸交直線AA′于N，求出直線AA′的解析式為y＝﹣x+3，則N（m，﹣m+3），于是可計算出MN＝﹣m2+3m，再利用S△AMA′＝S△ANM+S△MNA′和三角形面積公式得到S△AMA′＝﹣m2+m，然后根據二次函數的最值問題求出△AMA′的面積最大值，同時即可確定此時M點的坐標．

（1）當y＝0時，﹣x2+2x+3＝0，

解得x1＝3，x2＝﹣1，

則C（﹣1，0），A′（3，0），

當x＝0時，y＝3，則A（0，3）；

（2）∵四邊形ABOC為平行四邊形，

∴AB∥OC，AB＝OC，

而C（﹣1，0），A（0，3），

∴B（1，3），

∴OB＝＝，S△AOB＝×3×1＝，

又∵平行四邊形ABOC旋轉90°得平行四邊形A′B′OC′，

∴∠ACO＝∠OC′D，OC′＝OC＝1，

又∵∠ACO＝∠ABO，

∴∠ABO＝∠OC′D．

又∵∠C′OD＝∠AOB，

∴△C′OD∽△BOA，

∴＝()2＝（）2＝ ，

∴S△C′OD＝×＝；

（3）設M點的坐標為（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜3，

作MN∥y軸交直線AA′于N，易得直線AA′的解析式為y＝﹣x+3，則N（m，﹣m+3），

∵MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，

∴S△AMA′＝S△ANM+S△MNA′

＝MN3

＝（﹣m2+3m）

＝﹣m2+m

＝﹣（m﹣）2+，

∴當m＝時，S△AMA'的值最大，最大值為，此時M點坐標為（，）．