Question

【題目】在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD邊于點E．點F在BC邊上，且FE⊥AE．

（1）如圖1，①∠BEC=_________°；

②在圖1已有的三角形中，找到一對全等的三角形，并證明你的結論；

（2）如圖2，FH∥CD交AD于點H，交BE于點M．NH∥BE，NB∥HE，連接NE．若AB=4，AH=2，求NE的長．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】45

【解析】

（1）根據矩形的性質得到，根據角平分線的定義得到，根據三角形內角和定理計算即可；

（2）利用定理證明；

（3）連接，證明四邊形是矩形，得到，根據勾股定理求出即可.

（1）①∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠ABC=∠BCD=90°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠EBC=45°，

∴∠BEC=45°，

故答案為：45；

②△ADE≌△ECF，

理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠C=∠D=90°，AD=BC．

∵FE⊥AE，

∴∠AEF=90°．

∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°．

∵∠AED+∠DAE=90°，

∴∠FEC=∠EAD，

∵BE平分∠ABC，

∴∠BEC=45°．

∴∠EBC=∠BEC．

∴BC=EC．

∴AD=EC．

在△ADE和△ECF中，

∴△ADE≌△ECF；

（2）連接HB，如圖2，

∵FH∥CD，

∴∠HFC=180°-∠C=90°．

∴四邊形HFCD是矩形．

∴DH=CF，

∵△ADE≌△ECF，

∴DE=CF．

∴DH=DE．

∴∠DHE=∠DEH=45°．

∵∠BEC=45°，

∴∠HEB=180°-∠DEH-∠BEC=90°．

∵NH∥BE，NB∥HE，

∴四邊形NBEH是平行四邊形．

∴四邊形NBEH是矩形．

∴NE=BH．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAH=90°．

∵在Rt△BAH中，AB=4，AH=2，