Question

如圖，在⊙O中，OA、OB是半徑，且OA⊥OB，OA=6，點C是AB上異于A、B的動點。過點C作CD⊥OA于點D，作CE⊥OB于點E，連接DE，點G、H在線段DE上，且DG=GH=HE。

（1）求證：四邊形OGCH為平行四邊形；

（2）①當點C在AB上運動時，在CD、CG、DG中，是否存在長度不變的線段？若存在，請求出該線段的長度；若不存在，請說明理由；

②求CD²+CH²之值。

Answer 1

（1）證明：如右圖，∵CD⊥OA，CE⊥OB，

     ∴∠ODC=∠OEC=90°

     又∵∠AOB=90°，∴四邊形OECD是矩形。

     ∴OD=EC，且OD//EC，∴∠ODG=∠CEH

     ∵DG=EH，∴△ODG≌△CEH，

     ∴OG=CH。

     同理可證OH=CG

     ∴四邊形OGCH為平行四邊形

   （2）①解：線段DG的長度不變。

∵點C是AB上的點，OA=6。∴OC=OA=6

∵四邊形OECD是矩形，∴ED=OC=6

∵DG=GH=HE，∴DG=ED=2

②解：如右圖，過點H作HF⊥CD于點F，

   ∵EC⊥CD，∴HF//EC

   ∴△DHF∽△DEC， ∴，∴

   從而CF=CD-FD=CD

   在Rt△CHF中，CH²=HF²+CF²=HF²+CD²

   在Rt△HFD中，HF²=DH²-DF²=CD²

   ∴CH²=CD²+CD²=16-CD²

   ∴