Question

已知AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點，BP與⊙O交于點C
（1）如圖①，若AB=1，∠P=30°，求AP的長（結果保留根號）；
（2）如圖②，若D為AP的中點，求證：直線CD是⊙O的切線．

Answer 1

（1）∵AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，
∴BA⊥PA，
∴∠BAP=90°，
∵AB=1，∠P=30°，
∴AP=

3

AB=

3

；

（2）證明：連結OC、AC，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴△ACP為直角三角形，
∵D為AP的中點，
∴DC=DA，
∴∠DCA=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA+∠DAC=∠OAC+∠DAC，
即∠OCD=∠OAD=90°，
∴OC⊥DC，
∴直線CD是⊙O的切線．