Question

如圖，在直角坐標系中，平行四邊形AOCD的邊OC在x軸上，邊AD與y軸交于點H，CD=10，sin∠OCD=

4

5

．點E、F分別是邊AD和對角線OD上的動點（點E不與A、D重合），∠OEF=∠A=∠DOC，設AE=t，OF=s．
（1）求直線DC的解析式；
（2）求s關于t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
（3）點E在邊AD上移動的過程中，△OEF是否有可能成為一個等腰三角形？若有可能，請求出t的值；若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為四邊形AOCD是平行四邊形，根據題意求出sin∠OCD=sin∠OAH的值．然后根據勾股定理求出AH的值．又因為
∠A=∠DOC，AD∥OC，可推出AH=HD，AD=OC．求出C，D的坐標后設直線DC的解析式為y=kx+b代入已知坐標得出解析式；
（2）已知OA=OD，可得出OF=S．求出FD，AE和DE的表達式之后推出△AEO∽△DFE根據線段的相似比求出s=

1

10

t2-

6

5

t+10（0＜t＜12）；
（3）根據題意，要分為兩種情況解答．當OF=EF，求得EO=ED，故可得出（t-6）²+64=（12-t）²求出t的值；當OE=EF時，即

AO

DE

=

OE

EF

=1，易求t值．

解答：解：（1）∵AOCD是平行四邊形
∴AO=DC=10，∠A=∠OCD
∴sin∠OCD=sin∠OAH=

4

5

∴OH=OA•sin∠A=10×

4

5

=8
∴AH=

OA2-OH2

=

100-64

=6
又∵∠A=∠DOC，AD∥OC，
∴∠DOC=∠ADO，
∴∠A=∠ADO，OH⊥AD，
∴AH=HD=6，
∴AD=OC=12，
∴D（6，8）、C（12，O）．
設直線DC的解析式為y=kx+b可得

8=6k+b 0=12k+b

．
-6k=8．k=-

4

3

．b=16．
∴y=-

4

3

x+16；（4分）

（2）∵OA=OD=10，
∵OF=S，
∴FD=10-S，AE=t，DE=12-t
又∵∠OEF=∠EDF．
∴∠AEO+∠FED=180°-∠OEF，∠DEF+∠EFD=180°-∠EDF．
∴∠AEO=∠EFD，∠A=∠EDF，
∴△AEO∽△DFE，
∴

AE

DF

=

AO

DE

．
∴

t

10-s

=

10

12-t

，100-10s=12t-t²，
∴s=

1

10

t2-

6

5

t+10（0＜t＜12）；（3分）

（3）∠OFE＞∠FDE=∠OEF．
∴OF≠OE．（1分）
∴△OEF是等腰三角形，則只有①OF=EF②OE=EF
①當OF=EF時．
∴∠OEF=∠EOF=∠EDO，∴EO=ED．即（t-6）²+64=（12-t）²，t=

11

3

（2分）
②當OE=EF時
則

AO

DE

=

OE

EF

=1即OA=DE．12-t=10，t=2．
∴當t=

11

3

或t=2時△OEF是等腰三角形．（2分）

點評：本題難度較大，主要是考查圖形，三角函數以及一次函數綜合的知識．本題很典型，在考試中考生應學會總結問題．