Question

如圖，圓O與圓D相交于A，B兩點，BC為圓D的切線，點C在圓O上，且AB=BC．
（1）證明：點O在圓D的圓周上．
（2）設△ABC的面積為S，求圓D的半徑R的最小值．

Answer 1

解：（1）連OA，OB，OC，AC，因為O為圓心，AB=BC，
所以△OBA∽△OBC，從而∠OBA=∠OBC．
因為OD⊥AB，DB⊥BC，所以
∠DOB=90°-∠OBA=90°-∠OBC=∠DBO，
所以DB=DO，因此點O在圓D的圓周上．

（2）設圓O的半徑為a，BO的延長線交AC于點E，易知BE⊥AC．
設AC=2y（0＜y≤a），OE=x，AB=l，則a²=x²+y²，S=y（a+x），
l²=y²+（a+x）²=y²+a²+2ax+x²=2a²+2ax=2a（a+x）=
因為∠ABC=2∠OBA=2∠OAB=∠BDO，AB=BC，DB=DO，
所以△BDO∽△ABC，所以=，即，故r=．
所以r²==-=-≥，即r≥，
其中等號當a=y時成立，
這時AC是圓O的直徑．所以圓D的半徑r的最小值為．
分析：（1）連OA，OB，OC，AC，可證△OBA∽△OBC，即可證明∠OBA=∠OBC，所以DB=DO，即可證點O在圓D的圓周上；
（2）設圓O的半徑為a，BO的延長線交AC于點E，設AC=2y（0＜y≤a）即可求證△BDO∽△ABC，進而可以r，即可求r的最小值，即可解題．
點評：本題考查了相似三角形對應角相等、對應邊比值相等的性質，考查了不等式的極值問題，考查了勾股定理在直角三角形中的運用，本題中求點O在圓D的圓周上是解題的關鍵．