Question

如圖，在直角坐標系中，⊙O的圓心O在坐標原點，直徑AB=6，點P是直徑AB上的一個動點（點P不與A、B兩點重合），過點P的直線PQ的解析式為y=x+m，當直線PQ交y軸于Q，交⊙O于C、D兩點時，過點C作CE垂直于x軸交⊙O于點E，過點E作EG垂直于y軸，垂足為G，過點C作CF垂直于y軸，垂足為F，連接DE．
（1）點P在運動過程中，∠CPB=

 

°；
（2）當m=2時，試求矩形CEGF的面積；
（3）當P在運動過程中，探索PD²+PC²的值是否會發生變化？如果發生變化，請你說明理由；如果不發生變化，請你求出這個不變的值；
（4）如果點P在射線AB上運動，當△PDE的面積為3時，請你求出CD的長度．

Answer 1

分析：（1）利用圖象與x，y軸交點坐標得出QO=PO，從而得出∠CPB的度數即可；
（2）利用勾股定理求出CE，OH的長度，求出矩形CEGF的面積即可；
（3）根據PC²+PD²=（CM+PM）²+（DM-PM）²，得出即可；
（4）分別從當點P在直徑AB上時，以及當點P在線段AB的延長線上時得出CD與CM的長度關系，進而求出即可．

解答：解：（1）∵過點P的直線PQ的解析式為y=x+m，
∴圖象與x軸交點坐標的為：（-m，0），圖象與y軸交點坐標的為：（0，m），
∴QO=PO，∠POQ=90°，
∴∠CPB=45°，
故答案為：45°；

（2）作OM⊥CD于M點，則CM=MD，
∵∠CPB=45°，CE⊥AB，
∴∠OQP=∠HCP=45°，PH=CH，
由題意得：QO=2，
∴OP=OQ=2，
∴PM=MQ=OM=

2

，
連接OC，則CM=

OC2-OM2

=

7

，
∴PC=

2

+

7

，
PH=CH=

2

2

PC=

14 +2

2

，
∴CE=2CH=

14

+2，
OH=PH-OP=

14 +2

2

-2=

14 -2

2

，
∴S_矩形CEGH=CE×OH=（

14

+2）×

14 -2

2

=5；

（3）不變，
當P點在線段OA上時，由（2）得：
PC²+PD²=（CM+PM）²+（DM-PM）²，
=（CM+OM）²+（CM-OM）²，
=2（CM²+OM²），
=2OC²，
=2×3²，
=18，
當P點在線段OB上時，同理可得：PC²+PD²=18，
當P點與點O重合時，顯然有：PC²+PD²=18；

（4）①當點P在直徑AB上時如圖所示，由圓的對稱性可知，
∠CPE=2∠CPB=90°，PE=PC，
∴S_△PDE=

1

2

PD×PE=

1

2

PD×PC=3，
∴PD×PC=6，
即（CM-PM）（CM+PM）=6，
（CM-OM）（CM+OM）=6，
∴CM²-OM²=6，
∴CM²-（3²-CM²）=6，
∴CM²=

15

2

，
∴CD=2CM=

30

；
②當點P在線段AB的延長線上時，如圖，同理有：PD×PC=6，
即：（PM+DM）（PM-CM）=6，
（OM+CM）（OM-CM）=6，
∴OM²-CM²=6，
∴（3²-CM²）-CM²=6，
∴CM²=

3

2

，
∴CD=2CM=

6

，
綜上所述：CD為

30

或

6

．

點評：此題主要考查了三角形的面積以及平方差公式應用以及一次函數的綜合應用，要注意的是（4）中，要根據P點的不同位置進行分類求解．