Question

【題目】已知：如圖，平面直角坐標系中，A（0，4），B（0，2），點C是x軸上一點，點D為OC的中點．

（1）求證：BD∥AC；

（2）若點C在x軸正半軸上，且BD與AC的距離等于1，求點C的坐標；

（3）如果OE⊥AC于點E，當四邊形ABDE為平行四邊形時，求直線AC的解析式．

Answer 1

【答案】（1）BD∥AC；（2）點C的坐標為（，0）；（3）直線AC的解析式為y=﹣x+4．

【解析】試題分析：（1）由A與B的坐標求出OA與OB的長，進而得到B為OA的中點，而D為OC的中點，利用中位線定理即可得證；
（2）如圖1，作BF⊥AC于點F，取AB的中點G，確定出G坐標，由平行線間的距離相等求出BF的長，在直角三角形ABF中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半求出FG的長，進而確定出三角形BFG為等邊三角形，即∠BAC=30°，設OC=x，則有AC=2x，利用勾股定理表示出OA，根據OA的長求出x的值，即可確定出C坐標；
（3）如圖2，當四邊形ABDE為平行四邊形時，AB∥DE，進而得到DE垂直于OC，再由D為OC中點，得到OE=CE，再由OE垂直于AC，得到三角形AOC為等腰直角三角形，求出OC的長，確定出C坐標，設直線AC解析式為y=kx+b，將A與C坐標代入求出k與b的值，即可確定出AC解析式．

試題解析：

（1）∵A（0，4），B（0，2），

∴OA=4，OB=2，點B為線段OA的中點，

又點D為OC的中點，即BD為△AOC的中位線，

∴BD∥AC；

（2）如圖1，作BF⊥AC于點F，取AB的中點G，則G（0，3），

∵BD∥AC，BD與AC的距離等于1，

∴BF=1，

∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=2，點G為AB的中點，

∴FG=BG=AB=1，

∴△BFG是等邊三角形，∠ABF=60°．

∴∠BAC=30°，

設OC=x，則AC=2x，

根據勾股定理得：OA=，

∵OA=4，

∴x=,

∵點C在x軸的正半軸上，

∴點C的坐標為（，0）；

（3）如圖2，當四邊形ABDE為平行四邊形時，AB∥DE，

∴DE⊥OC，

∵點D為OC的中點，

∴OE=EC，

∵OE⊥AC，

∴∠OCA=45°，

∴OC=OA=4，

∵點C在x軸的正半軸上，

∴點C的坐標為（4，0），

設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0）．

將A（0，4），C（4，0）代入AC的解析式得：

解得：

∴直線AC的解析式為y=﹣x+4．