Question

（2006•湛江）如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF，交⊙O于點E，過點E作直線ED⊥AF，交AF的延長線于點D，交AB的延長線于點C．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若CB=2，CE=4，求AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，由角平分線的性質，結合平行線的性質；易證得OE⊥CD；故可得CD是⊙O的切線．
（2）設r是⊙O的半徑，在Rt△CEO中，CO²=OE²+CE²，進而有OE∥AD可得△CEO∽△CDA，可得比例關系式，代入數據可得答案．
解答：（1）證明：連接OE，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠DAE．（1分）
∵OE=OA，
∴∠BAE=∠OEA．（2分）
∴∠OEA=∠DAE．
∴OE∥AD．（3分）
∵AD⊥CD，
∴OE⊥CD．
∴CD是⊙O的切線．（4分）

（2）解：設r是⊙O的半徑，
在Rt△CEO中，CO²=OE²+CE²，（5分）
即（2+r）²=r²+4²，
解得r=3．（6分）
∵OE∥AD，
∴△CEO∽△CDA，
∴，（7分）
即．
解得．（8分）
∴=．（9分）
點評：本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定及線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．