Question

【題目】已知矩形紙片中，，，點為邊上的動點（點不與點、重合），如圖1所示，沿折痕翻折得到，設．

（1）當、、在同一直線上時，求的值；

（2）如圖2，點在邊上，沿再次折疊紙片，使點的對應點在直線上，

①求的最小值；

②點能否落在邊上？若能，求出的值，若不能，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2 （2）① ②見解析

【解析】

（1）由折疊的性質可知∠BEA＝∠B′EA，再根據矩形的性質可得∠B′EA＝∠EAD，即可得ED＝AD＝10，根據勾股股定理求出CE的長度，即可求出BE的長度．

（2）①先證明△ABE∽△ECF，于是，可求得DF＝，再根據二次函數的性質求解即可；②根據勾股定理可得，再根據根的判別式來確定方程的根的情況，從而判斷點能否落在邊上．

（1）由折疊可知，∠BEA＝∠B′EA，

又∵矩形ABCD中，BC//AD，

∴∠BEA＝∠EAD，

∴∠B′EA＝∠EAD，

∴ED＝AD＝10，

∵CD＝AB＝6，

根據勾股定理求得CE＝8，

∴BE＝BC－CE＝2；

（2）①根據兩次折疊可求證得∠AEF＝90度，從而證得△ABE∽△ECF，于是，

∴，CF＝，

∴DF＝＝

∴當m=5時，DF的最小值為.

②不能．理由是：

若點C′落在邊AD上，由（1）知A C′＝E C′，

根據折疊可知：BE＝B′E＝m， E C′＝EC＝10－m，

∴A C′＝10－m，B′C′＝E C′－B′E＝10－m－m=10-2m，A C′＝6，

在Rt△A B′C′中，根據勾股定理得：.

化簡得：

∴

∴原方程沒有實數解，

∴點C′不能落在邊AD上