Question

【題目】如圖是某導彈發射車在山頂A處進行射擊訓練的示意圖，點A在y軸上，與原點O的距離是8百米（為了計算方便，我們把本題中的距離用百米作單位）．此導彈發射車在A處進行某個角度的射擊訓練，點M是導彈向右上射出后某時刻的位置．忽略空氣阻力，實驗表明：導彈射出t秒時，點M，A的水平距離是vt百米，點M與x軸（水平）的豎直距離是（8+vt﹣5t2）百米（v的值由發射者設定）．在點A和x軸上的點B處觀測射擊目標P的仰角分別是a和β，OB＝3百米，tanα＝．tanβ＝．

（1）若v＝7，完成下列問題：

①當點M，A的水平距離是7百米時，點M到x軸的距離是　 　百米；

②設點M坐標為（x，y），求y與x的關系式（不必寫x的取值范圍）．

（2）按（1）的射擊方式，能否命中目標P？請說明理由．

（3）目標以m百米/秒的速度從點P向右移動，當v時，若能使目標被擊中，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①10；②y＝﹣；（2）能，理由見解析；（3）0＜m≤．

【解析】

（1）①根據水平距離是7百米可知：vt＝7，將v＝7代入得t＝1，再代入點M與x軸（水平）的豎直距離是（8+vt﹣5t2）百米中，可得結論；

②根據點M坐標為（x，y），與已知點M（vt，8+vt﹣5t2）（v＝7），列方程組可得結論；

（2）計算點P的坐標，代入拋物線的解析式，符合則能命中目標P；

（3）由（2）知：7≤v≤6，將v的最大值代入M的橫縱坐標中表示：y與x的關系式，由（2）知：P（7，10），不論P怎樣向右平移，點P的縱坐標不變，都是10，代入可得x的值，計算時間，從而得結論．

（1）①當v＝7時，vt＝7，

∴7t＝7，t＝1，

∴8+vt﹣5t2＝8+7×1﹣5×12＝15﹣5＝10，

故答案為：10；

②∵點M坐標為(x，y)，

由題意得：M(vt，8+vt﹣5t2)（v＝7），

∴,

∴t＝x，

∴y＝﹣；

（2）能，理由如下，

作PC⊥x軸于點C，AD⊥PC于點D，如圖所示，

設OC＝AD＝a，則BC＝a﹣3，

由tanα＝，tanβ＝，得：PD＝a，PC＝（a﹣3），

而PC﹣PD＝8，即（a﹣3）﹣a＝8，

解得：a＝7，則PC＝×（7﹣3）＝10，

∴點P的坐標為(7，10)，

當x＝7時，y＝﹣＝10，

∴拋物線過點P，即能命中目標P；

（3）由題意得：v的值越大，炮彈向右射的越遠，且能越快追上目標，

由（2）知：7≤v≤6，

當v＝6時，x＝6t，y＝8+6t﹣5t2，則y＝﹣x2+x+8，

∵目標向右移動，y＝10，即﹣x2+x+8=10，

解得：x1＝12，x2＝（舍），

∴當y＝10時，炮彈向右最遠射出12百米，用時： ＝＝（秒），

∴m≤12﹣7，即m≤，

∴0＜m≤．