Question

【題目】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC點D為直線BC上一動點(點D不與B、C重合) ．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．

（1）如圖①，當點D在線段BC上時，求證：①BD⊥CF；②CF＝BCCD．
（2）如圖②，當點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關系．
（3）如圖③，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A、F分別在直線BC的兩側，其他條件不變：①請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關系；②若連接正方形對角線AE、DF,交點為O，連接OC，探究△AOC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：①如圖①，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAF AD＝AF

∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，

∴∠BCF=90°，

即BD⊥CF.

②由①得△BAD≌△CAF，
∴BD=CF
∵BD+CD=BC，
∴CF=BC-CD.

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（2）

解：CF-CD=BC．理由如下：
如圖②，
∵∠BAD=90°+∠CAD，
∠CAF=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAF AD＝AF

∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∵BD=BC+CD，
∴CF-CD=BC．

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（3）

解：①CD-CF=BC;

②等腰三角形.理由如下：

∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAF AD＝AF

∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
∴∠ACF=∠ABD=135°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD是直角三角形．

又∵OD=OF，

∴OC=OD=OA，

∴△AOC是等腰三角形.

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【解析】（1），（2）和（3）中每題都要運用“SAS”證明△BAD≌△CAF，然后得到邊的關系和角的關系；（3）的②還要運用到直角三角形中斜邊上的中線是斜邊長的一半.
【考點精析】利用等腰直角三角形和直角三角形斜邊上的中線對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．