Question

已知：如圖，三個半圓依次相外切，它們的圓心都在x軸的正半軸上并與直線y=x相切，設半圓C₁、半圓C₂、半圓C₃的半徑分別是r₁、r₂、r₃，則當r₁=1時，r₃=________．

Answer 1

9
分析：分別過O₁、O₂、O₃作直線y=x的垂線，垂足為A、B、C，再分別過O₁、O₂作O₁D⊥O₂B，O₂E⊥O₃C，垂足為D、E，由直線解析式可知∠COO₃=∠DO₁O₂=∠EO₂O₃=30°，分別解Rt△DO₁O₂，Rt△EO₂O₃，求r₃．
解答：解：如圖，過O₁、O₂、O₃作直線的垂線，垂足為A、B、C，
過O₁、O₂作O₁D⊥O₂B，O₂E⊥O₃C，垂足為D、E，
∵直線解析式為y=x，
∴∠COO₃=∠DO₁O₂=∠EO₂O₃=30°，
在Rt△DO₁O₂中，O₁O₂=r₁+r₂，O₂D=r₂-r₁，由sin∠DO₁O₂=，得=，解得r₂=3；
在Rt△EO₂O₃中，O₂O₃=r₂+r₃，O₃E=r₃-r₂，由sin∠EO₂O₃=，得=，解得r₃=9．
故答案為：9．
點評：本題考查了一次函數的綜合運用．關鍵是根據一次函數解析式求出直線與x軸的夾角，把問題轉化到直角三角形中求解．