Question

已知：如圖，三個(gè)半圓彼此相外切，它們的圓心都在x軸的正半軸上并與直線y=

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x相切，設(shè)半圓C₁、半圓C₂、半圓C_3…的半徑分別是r₁、r₂、r_3…，則當(dāng)r₁=1時(shí)，則r₂₀₁₂=（　　）

A．3²⁰¹¹

B．3²⁰¹²

C．3²⁰¹⁰

D．3

Answer 1

分析：設(shè)三個(gè)半圓與直線OC分別相切于A、B、C點(diǎn)，分別連接圓心與切點(diǎn)，根據(jù)切線的性質(zhì)得到三個(gè)直角三角形，再由直線OC的方程得到直線的傾斜角為30°，根據(jù)30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半得到OC₁=2C₁A，0C₂=2C₂B，0C₃=2C₃C，再由三半圓彼此外切，得到相兩圓的圓心距等于兩半徑相加，得出r₁、r₂、r₃間的關(guān)系，由r₁的值可得出r₂、r₃的值，按照此規(guī)律可歸納出r₂₀₁₂的值．

解答：
解：連接C₁A，C₂B，C₃C，
∵三半圓都與直線OC相切，
∴C₁A⊥OA，C₂B⊥OB，C₃C⊥OC，
又∵三個(gè)半圓依次與直線y=

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x相切并且圓心都在x軸上，
∴y=

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x的傾斜角是30°，
又∵三半圓彼此相外切，
∴OC₁=2C₁A=2r₁，0C₂=2C₂B=2r₂=OC₁+r₁+r₂=3r₁+r₂，0C₃=2C₃C=OC₁+r₁+2r₂+r₃=2r₃，
∴2r₂=3r₁+r₂，
∴r₂=3r₁，
∵r₁=1=3⁰，∴r₂=3=3¹，
∴OC₁=2，0C₂=2r₂=6r₁=6，0C₃=18，
∴r₃=9=3²，
∴按此規(guī)律歸納得：r_n=3^n-1，
則r₂₀₁₂=3²⁰¹¹．
故選A

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩圓相切的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，兩圓了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想，鍛煉了學(xué)生歸納總結(jié)的能力，其中當(dāng)兩圓外切時(shí)，兩圓的圓心距等于兩半徑之和；兩圓內(nèi)切時(shí)，兩圓圓心距等于兩半徑之差，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．