Question

【題目】如圖所示，O是矩形ABCD的對角線的交點，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE相交于點E．求證：

（1）四邊形OCED是菱形．
（2）連接OE，若AD=4，CD=3，求菱形OCED的周長和面積．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵DE∥OC，CE∥OD，

∵四邊形OCED是平行四邊形．

∴OC=DE，OD=CE

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AO=OC=BO=OD．

∴CE=OC=BO=DE．

∴四邊形OCED是菱形

（2）

解：如圖，連接OE．

在Rt△ADC中，AD=4，CD=3

由勾股定理得，AC=5∴OC=2.5

∴C菱形OCED=4OC=4×2.5=10，

在菱形OCED中，OE⊥CD，又∵OE⊥CD，

∴OE∥AD．

∵DE∥AC，OE∥AD，

∴四邊形AOED是平行四邊形，

∴OE=AD=4．

∴S菱形OCED= ．

【解析】（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可證得四邊形CODE是平行四邊形，又由四邊形ABCD是矩形，根據矩形的性質，易得OC=OD，即可判定四邊形CODE是菱形，（2）根據S△ODC= S矩形ABCD以及四邊形OCED的面積=2S△ODC即可解決問題．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用矩形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．