Question

先閱讀下列材料，再解答后面的問題
材料：一般地，n個相同的因數相乘：。如2³=8，此時，3叫做以2為底8的對數，記為。一般地，若，則n叫做以為底b的對數，記為，則4叫做以3為底81的對數，記為。
問題：
小題1:計算以下各對數的值：log₂4=           log₂16=         log₂64=        
小題2:觀察(1)中三數4、16、64之間滿足怎樣的關系式？log₂4、log₂16、log₂64之間又滿足怎樣的關系式？
小題3:由(2)的結果，你能歸納出一個一般性的結論嗎？      log_aM+log_aN=         (a>0且a≠1，M>0，N>0)
根據冪的運算法則：aⁿ·a^m=a^n+m以及對數的含義證明上述結論

Answer 1

小題1: ，   ， …………………3分
小題2:4×16=64  ， +  =    …………………6分
小題3: +  =              …………………9分
證明：設=b₁    , =b₂
則，                    ……………………10分
∴                  ……………………11分
∴b₁+b₂=
即 +  =              ……………………12分

（1）根據對數的定義求解；
（2）認真觀察，不難找到規律：4×16=64，log₂4+log₂16=log₂64
(3)有特殊到一般，得出結論：log_aM+log_aN=log_a（MN）；首先可設log_aM=b₁，log_aN=b₂，再根據冪的運算法則：aⁿ•a^m=a^n+m以及對數的含義證明結論