Question

【題目】若一個三位數，其個位數加上十位數等于百位數，可表示為t=100（x+y）+10y+x，則稱實數t為“加成數”，將t的百位作為個位，個位作為十位，十位作為百位，組成一個新的三位數h．規定q=t﹣h，f（m）=，例如：321是一個“加成數”，將其百位作為個位，個位作為十位，十位作為百位，得到的數h=213，∴q=321﹣213=108，f（m）==12．

（1）當f（m）最小時，求此時對應的“加成數”的值；

（2）若f（m）是24的倍數，則稱f（m）是“節氣數”，猜想這樣的“節氣數”有多少個，并求出所有的“節氣數”．

Answer 1

【答案】（1）當x=0，y=1時，q小=9，此時對應的“加成數”是110；（2）這樣的“節氣數”有4個，分別為24，72．

【解析】

（1）根據新定義，由求f（m）最小值，可知就是求q的最小值，根據定義表示q=t﹣h=100（x+y）+10y+x﹣（101y+11x）=9y+90x，可得結論；

（2）根據f（m）是24的倍數，f（m）=24n（n為正整數），得q=216n，由（1）中q=9y+90x，列方程，解方程可得結論．

（1）∵f（m）=，

∴當f（m）最小時，q最小，

∵t=100（x+y）+10y+x，h=100y+10x+x+y=101y+11x，

∴q=t﹣h=100（x+y）+10y+x﹣（101y+11x）=9y+90x，且1≤y≤9，0≤x≤9，x、y為正整數，

當x=0，y=1時，q小=9，此時對應的“加成數”是110；

（2）∵f（m）是24的倍數，

設f（m）=24n（n為正整數），

則24n=，q=216n，

由（1）知：q=9y+90x=9（y+10x），

∴216n=9（y+10x），

24n=y+10x，

①當n=1時，即y+10x=24，解得：x=2，y=4，則這樣的“節氣數”是24；

②當n=2時，即y+10x=48，解得：x=4，y=8，則這樣的“節氣數”是48；此時百位上的數為12，舍去.

③當n=3時，即y+10x=72，解得：x=7，y=2，則這樣的“節氣數”是72；

①當n=4時，即y+10x=96，解得：x=9，y=6，則這樣的“節氣數”是96；此時百位上的數為15，舍去.

①當n=5時，即y+10x=120，沒有符合條件的整數解，

綜上，這樣的“節氣數”有4個，分別為24， 72．