Question

操作：小明準備制作棱長為1cm的正方體紙盒，現選用一些廢棄的紙片進行如下設計：

說明：
方案一：圖形中的圓過點A、B、C；
方案二：直角三角形的兩直角邊與展開圖左下角的正方形邊重合，斜邊經過兩個正方形的頂點
紙片利用率=

紙片被利用的面積

紙片的總面積

×100%
發現：
（1）方案一中的點A、B恰好為該圓一直徑的兩個端點．你認為小明的這個發現是否正確，請說明理由．
（2）小明通過計算，發現方案一中紙片的利用率僅約為38.2%．請幫忙計算方案二的利用率，并寫出求解過程．
探究：
（3）小明感覺上面兩個方案的利用率均偏低，又進行了新的設計（方案三），請直接寫出方案三的利用率．
說明：方案三中的每條邊均過其中兩個正方形的頂點．

Answer 1

分析：（1）連接AC、BC、AB，由AC=BC=

5

，AB=

10

，根據勾股定理的逆定理，即可求得∠BAC=90°，又由90°的圓周角所對的弦是直徑，則可證得AB為該圓的直徑；
（2）首先證得△ADE≌△EHF與△ADE∽△ACB，即可求得AD與BC的長，求得△ABC的面積，即可求得該方案紙片利用率；
（3）利用方案（2）的方法，分析求解即可求得答案．

解答：解：發現：（1）小明的這個發現正確．
理由：
解法一：如圖一：連接AC、BC、AB，
∵AC=BC=

10

，AB=2

5

∴AC²+BC²=AB²，
∴∠BCA=90°，
∴AB為該圓的直徑．
解法二：如圖二：連接AC、BC、AB．
易證△AMC≌△BNC，
∴∠ACM=∠CBN．
又∵∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠BCN+∠ACM=90°，
即∠BCA=90°，
∴AB為該圓的直徑．


（2）如圖三：∵DE=FH，DE∥FH，
∴∠AED=∠EFH，
∵∠ADE=∠EHF=90°，
∴△ADE≌△EHF（ASA），
∴AD=EH=1．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴

AD

AC

=

DE

CB

，
∴

1

4

=

2

CB

，
∴BC=8，
∴S_△ACB=16．
∴該方案紙片利用率=

展開圖的面積

紙板的總面積

×100%=

6

16

×100%=37.5%；

探究：（3）過點C作CD⊥EF于D，過點G作GH∥AC，交BC于點H，
設AP=a，
∵PQ∥EK，
易得△APQ∽△KQE，△CEF是等腰三角形，△GHL是等腰三角形，
∴AP：AQ=QK：EK=1：2，
∴AQ=2a，PQ=

5

a，
∴EQ=5a，
∵EC：ED=QE：QK，
∴EC=

5

2

a，
則PG=5a+

5

2

a=

15

2

a，GL=

5

2

5

a，
∴GH=

25

8

a，
∵

GH

2a+5a+ 5 2 a

=

GB

GB+ 15a 2 +a

，
解得：GB=

25

6

a，
∴AB=

38

3

a，AC=

19

2

a，
∴S_△ABC=

1

2

×AB×AC=

361

6

a²，
S_{展開圖面積}=6×5a²=30a²，
∴該方案紙片利用率=

展開圖的面積

紙板的總面積

×100%=

180

361

×100%=49.86%．

點評：此題考查了圓周角的性質，相似三角形與全等三角形的判定與性質，勾股定理的逆定理等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題時要注意數形結合思想的應用．