Question

操作：小明準(zhǔn)備制作棱長為1cm的正方體紙盒，現(xiàn)選用一些廢棄的圓形紙片進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：

紙片利用率=

紙片被利用的面積

紙片的總面積

×100%
發(fā)現(xiàn)：（1）方案一中的點(diǎn)A、B恰好為該圓一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．你認(rèn)為小明的這個(gè)發(fā)現(xiàn)是否正確，請(qǐng)說明理由．
（2）小明通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)方案一中紙片的利用率僅約為38.2%．請(qǐng)幫忙計(jì)算方案二的利用率，并寫出求解過程，比較哪種方案中紙片的利用率高．

Answer 1

分析：（1）連接AC、BC、AB，據(jù)每個(gè)小正方形的邊長為1，可以證得∠ACB=90°，故問題可求．
（2）如圖，作輔助線，利用三角形全等和三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例，可以分別求得直角三角形的兩個(gè)直角邊的長度，于是問題可求．

解答：解：（1）小明的這個(gè)發(fā)現(xiàn)正確．
理由：如圖1：連接AC、BC、AB，
∵AC=BC=

10

，AB=

20

∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴AB為該圓的直徑．
解法二：如圖2：連接AC、BC、AB．易證△AMC≌△BNC，
∴∠ACM=∠CBN．
又∵∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠BCN+∠ACM=90°，即∠ACB=90°，
∴AB為該圓的直徑．


（2）如圖3：由題意，可得△ADE≌△EHF（ASA），
∴AD=EH=1．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴

AD

AC

=

DE

CB

，
∴

1

4

=

2

CB

，
∴BC=8．
∴S_△ACB=16．
∴該方案紙片利用率=

展開圖的面積

紙板的總面積

×100%=

6

16

×100%=37.5%．
∴37.5%＜38.2%，
故方案一中紙片的利用率高．

點(diǎn)評(píng)：此類題目，考查學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解能力，本題的解答關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)來解決問題．