Question

【題目】已知：二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB＜OC）是方程x2－10x＋16＝0的兩個根，且A點坐標為（－6，0）．

（1）求此二次函數的表達式；

（2）若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；

【答案】（1）y＝－x2－x＋8（2）

【解析】試題分析:(1)求出一元二次方程的兩根即可求出兩點坐標,把B、C兩點坐標代入二次函數的解析式就可解答；

(2)過點F作FG⊥AB，垂足為G，由EF∥AC，得△BEF∽△BAC，利用相似比求EF，利用sin∠FEG=sin∠CAB求FG，根據S=S△BCE-S△BFE，求S與m之間的函數關系式.

解:(1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8

∴B（2，0）、C（0，8）

∴所求二次函數的表達式為y＝－x2－x＋8

（2）∵AB＝8，OC＝8，依題意，AE＝m，則BE＝8－m，

∵OA＝6，OC＝8， ∴AC＝10.

∵EF∥AC, ∴△BEF∽△BAC.

∴＝.　　即＝. ∴EF＝.

過點F作FG⊥AB，垂足為G，

則sin∠FEG＝sin∠CAB＝.∴＝.　

∴FG＝·＝8－m.

∴S＝S△BCE－S△BFE

＝

（0＜m＜8）

點睛:本題考查了一元二次方程的解法，待定系數法求函數關系系，相似三角形的判定與性質,span>銳角三角函數的定義，割補法求圖形的面積，熟練掌握待定系數法求二次函數關系式、相似三角形的判定與性質是解答本題的關鍵.

【題型】解答題
【結束】
23

【題目】如圖（1），在平面直角坐標系中，點A（0，﹣6），點B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角邊CD在y軸上，且點C與點A重合．Rt△CDE沿y軸正方向平行移動，當點C運動到點O時停止運動．解答下列問題：

（1）如圖（2），當Rt△CDE運動到點D與點O重合時，設CE交AB于點M，求∠BME的度數．

（2）如圖（3），在Rt△CDE的運動過程中，當CE經過點B時，求BC的長．

（3）在Rt△CDE的運動過程中，設AC=h，△OAB與△CDE的重疊部分的面積為S，請寫出S與h之間的函數關系式，并求出面積S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）∠BME=15°；

（2BC=4；

（3）h≤2時，S=﹣h2+4h+8，

當h≥2時，S=18﹣3h．

【解析】

試題分析：（1）如圖2，由對頂角的定義知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度數，需先求出∠CMA的度數．根據三角形外角的定理進行解答即可；

（2）如圖3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通過解直角△BOC就可求出BC的長度；

（3）需要分類討論：①h≤2時，如圖4，作MN⊥y軸交y軸于點N，作MF⊥DE交DE于點F，S=S△EDC﹣S△EFM；②當h≥2時，如圖3，S=S△OBC．

試題解析：解：（1）如圖2，

∵在平面直角坐標系中，點A（0，﹣6），點B（6，0）．

∴OA=OB，

∴∠OAB=45°，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，

∴∠OCE=60°，

∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，

∴∠BME=∠CMA=15°；

如圖3，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，

∴∠OBC=∠DEC=30°，

∵OB=6，

∴BC=4；

（3）①h≤2時，如圖4，作MN⊥y軸交y軸于點N，作MF⊥DE交DE于點F，

∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，

∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，

∵△CMN∽△CED，

∴，

∴，

解得FM=4﹣，

∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，

②如圖3，當h≥2時，

S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．