Question

（2013•梧州）我市某商場(chǎng)有甲、乙兩種商品，甲種每件進(jìn)價(jià)15元，售價(jià)20元；乙種每件進(jìn)價(jià)35元，售價(jià)45元．
（1）若商家同時(shí)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品100件，設(shè)甲商品購(gòu)進(jìn)x件，售完此兩種商品總利潤(rùn)為y 元．寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）該商家計(jì)劃最多投入3000元用于購(gòu)進(jìn)此兩種商品共100件，則至少要購(gòu)進(jìn)多少件甲種商品？若售完這些商品，商家可獲得的最大利潤(rùn)是多少元？
（3）“五•一”期間，商家對(duì)甲、乙兩種商品進(jìn)行表中的優(yōu)惠活動(dòng)，小王到該商場(chǎng)一次性付款324元購(gòu)買(mǎi)此類(lèi)商品，商家可獲得的最小利潤(rùn)和最大利潤(rùn)各是多少？

打折前一次性購(gòu)物總金額	優(yōu)惠措施
不超過(guò)400元	售價(jià)打九折
超過(guò)400元	售價(jià)打八折

Answer 1

分析：（1）根據(jù)利潤(rùn)=甲種商品的利潤(rùn)+乙種商品的利潤(rùn)就可以得出結(jié)論；
（2）根據(jù)“商家計(jì)劃最多投入3000元用于購(gòu)進(jìn)此兩種商品共100件”列出不等式，解不等式求出其解，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，求出商家可獲得的最大利潤(rùn)；
（3）設(shè)小王到該商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)甲種商品m件，購(gòu)買(mǎi)乙種商品n件．分兩種情況討論：①打折前一次性購(gòu)物總金額不超過(guò)400；②打折前一次性購(gòu)物總金額超過(guò)400．

解答：解：（1）設(shè)甲商品購(gòu)進(jìn)x件，則乙商品購(gòu)進(jìn)（100-x）件，由題意，得
y=（20-15）x+（45-35）（100-x）=-5x+1000，
故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-5x+1000；

（2）由題意，得15x+35（100-x）≤3000，
解之，得x≥25．
∵y=-5x+1000，k=-5＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x取最小值25時(shí)，y最大值，此時(shí)y=-5×25+1000=875（元），
∴至少要購(gòu)進(jìn)25件甲種商品；若售完這些商品，商家可獲得的最大利潤(rùn)是875元；

（3）設(shè)小王到該商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)甲種商品m件，購(gòu)買(mǎi)乙種商品n件．
①當(dāng)打折前一次性購(gòu)物總金額不超過(guò)400時(shí)，購(gòu)物總金額為324÷0.9=360（元），
則20m+45n=360，m=18-

9

4

n＞0，∴0＜n＜8．
∵n是4的倍數(shù)，
∴n=4，m=9．
此時(shí)的利潤(rùn)為：324-（15×9+35×4）=49（元）；
②當(dāng)打折前一次性購(gòu)物總金額超過(guò)400時(shí)，購(gòu)物總金額為324÷0.8=405（元），
則20m+45n=405，m=

81-9n

4

＞0，∴0＜n＜9．
∵m、n均是正整數(shù)，
∴m=9，n=5或m=18，n=1．
當(dāng)m=9，n=5的利潤(rùn)為：324-（9×15+5×35）=14（元）；
當(dāng)m=18，n=1的利潤(rùn)為：324-（18×15+1×35）=19（元）．
綜上所述，商家可獲得的最小利潤(rùn)是14元，最大利潤(rùn)各是49元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根據(jù)利潤(rùn)=甲種商品的利潤(rùn)+乙種商品的利潤(rùn)求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一元一次不等式的運(yùn)用，解答本題時(shí)求出一次函數(shù)的解析式，進(jìn)行分類(lèi)討論是關(guān)鍵．