Question

【題目】（本小題滿分10分）

觀察思考

某種在同一平面進行傳動的機械裝置如圖14-1，圖14-2是它的示意圖．其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動，在Q滑動的過程中，連桿PQ也隨之運動，并且PQ帶動連桿OP繞固定點O擺動．在擺動過程中，兩連桿的接點P在以OP為半徑的⊙O上運動．數學興趣小組為進一步研究其中所蘊含的數學知識，過點O作OH ⊥l于點H，并測得OH = 4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米．

解決問題

（1）點Q與點O間的最小距離是 分米；點Q與點O間的最大距離是 分米；點Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是 分米．

（2）

如圖14-3，小明同學說：“當點Q滑動到點H的位置時，PQ與⊙O是相切的．”你認為他的判斷對嗎？為什么？

（3）①小麗同學發現：“當點P運動到OH上時，點P到l的距離最小．”事實上，還存在著點P到l距離最大的位置，此時，點P到l的距離是 分米；

②當OP繞點O左右擺動時，所掃過的區域為扇形，求這個扇形面積最大時圓心角的度數．

Answer 1

【答案】（1）4 5 6

（2）不對

（3）① 3

②120°

【解析】解：（1）4 5 6；

（2）不對．

∵OP = 2，PQ = 3，OQ = 4，且42≠32 + 22，即OQ2≠PQ2 + OP2，

∴OP與PQ不垂直．∴PQ與⊙O不相切．

（3）① 3；

②由①知，在⊙O上存在點P，到l的距離為3，此時，OP將不能再向下轉動，如圖3．OP在繞點O左右擺動過程中所掃過的最大扇形就是OP．

連結P，交OH于點D．

∵PQ，均與l垂直，且PQ =，

∴四邊形PQ是矩形．∴OH⊥P，PD =D．

由OP = 2，OD = OHHD = 1，得∠DOP = 60°．

∴∠PO= 120°．

∴所求最大圓心角的度數為120°．