Question

【題目】如圖，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于點(diǎn)D，OF平分∠COB，CF⊥OF于點(diǎn)F．

（1）求證：四邊形CDOF是矩形；
（2）當(dāng)∠AOC多少度時(shí)，四邊形CDOF是正方形？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），

∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF。

∵∠AOC+∠BOC=180°，∴2∠COD+2∠COF=180°�！唷螩OD+∠COF=90°。

∴∠DOF=90°。

∵OA=OC，OD平分∠AOC（已知）。

∴OD⊥AC，AD=DC（等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)）�！唷螩DO=90°。

∵CF⊥OF，∴∠CFO=90°。

∴四邊形CDOF是矩形。

（2）解：當(dāng)∠AOC=90°時(shí)，四邊形CDOF是正方形。理由如下：

∵∠AOC=90°，AD=DC，∴OD=DC。

又由（1）知四邊形CDOF是矩形，則四邊形CDOF是正方形。

因此，當(dāng)∠AOC=90°時(shí)，四邊形CDOF是正方形。

【解析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠DOF=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三線合一，得到∠CDO=90°，再由CF⊥OF，得到四邊形CDOF是矩形；（2）根據(jù)正方形的判定方法有一組臨邊相等的矩形是正方形，當(dāng)∠AOC=90°時(shí)OD=DC，得到四邊形CDOF是正方形.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正方形的判定方法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握先判定一個(gè)四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個(gè)四邊形是菱形，再判定出有一個(gè)角是直角才能正確解答此題．