Question

如圖1，四邊形ABCD是由兩個全等的等腰直角三角形斜邊重合在一起組成的平面圖形．如圖2，點P是邊BC上一點，PH⊥BC交BD于點H，連接AP交BD于點E，點F為DH中點，連接AF．
（1）求證：四邊形ABCD為正方形；
（2）當點P在線段BC上運動時，∠PAF的大小是否會發(fā)生變化？若不變，請求出∠PAF的值；若變化，請說明理由；
（3）求證：BE²+DF²=EF²．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得出AD=AB=DC=BC，∠A=90°，根據(jù)正方形的判定推出即可．
（2）連接PF，并延長PF交CD的延長線于M，連接AM，證△FHP≌△FDM，推出PF=MF，PH=DM，求出BP=PH=DM，證△ABP≌△ADM，推出AP=AM，∠BAP=∠MAD，得出△PAM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形推出即可．
（3）在AM上截取AN=AE，連接NF，證△BAE≌△DAN，推出BE=DN，∠ABE=∠ADN=45°=∠ADF，求出∠NDF=90°，在Rt△DNF中，由勾股定理求出ND²+DF²=NF²，證△NAF≌△EAF，推出EF=FN，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是由兩個全等的等腰直角三角形斜邊重合在一起組成的平面圖形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=90°，
∴四邊形ABCD是正方形；

（2）解：不變化，
理由是：連接PF，并延長PF交CD的延長線于M，連接AM，如圖2，
∵∠C=90°，PH⊥BC，
∴∠C=∠HPB=90°，
∴PH∥CD，
∴∠PHF=∠MDF，
∵F為DH中點，
∴HF=DF，
在△FHP和△FDM中

∠FHP=∠MDF HF=DF ∠HFP=∠MFD

∴△FHP≌△FDM，
∴PF=MF，PH=DM，
∵PH⊥BC，
∴∠HPB=90°，
∵BC=CD，∠C=90°，
∴∠HBP=45°，
∴∠BHP=45°=∠HBP，
∴BP=PH，
∴DM=BP，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABP=∠ADM=90°，
在△ABP和△ADM中

AB=AD ∠ABP=∠ADM BP=DM

∴△ABP≌△ADM（SAS），
∴AP=AM，∠BAP=∠MAD，
∵∠DAB=90°，
∴∠MAP=∠MAD+∠DAP=∠BAP+∠DAP=∠DAB=90°，
∴△PAM是等腰直角三角形，
∵PF=MF，
∴∠EAF=∠MAF=

1

2

∠MAP=45°，
即當點P在線段BC上運動時，∠PAF的大小不會發(fā)生變化，∠PAF的值永遠是45°；


（3）證明：在AM上截取AN=AE，連接NF，如圖3，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵在△BAE和△DAN中

AB=AD ∠BAE=∠DAN AE=AN

∴△BAE≌△DAN（SAS），
∴BE=DN，∠ABE=∠ADN=45°=∠ADF，
∴∠NDF=45°+45°=90°，
在Rt△DNF中，由勾股定理得：ND²+DF²=NF²，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠NAF=∠NAD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=90°-45°=45°，
∴∠NAF=∠EAF=45°，
在△NAF和△EAF中

AN=AE ∠NAF=∠EAF AF=AF

∴△NAF≌△EAF（SAS），
∴EF=FN，
∵ND²+DF²=NF²，DN=BE，
∴BE²+DF²=EF²．

點評：本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，正方形性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力，有一定的難度．