Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，點E在AB上，以AE為直徑的⊙O與BC相切于點D，連接AD．

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）若⊙O的直徑為10，sin∠DAC=，求BD的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】（1）連接OD，先根據平行線的判定定理證明OD∥AC，然后依據平行線的性質和等腰三角形的性質證明∠OAD=∠DAC，于是可證明AD平分∠BAC；

（2）連接ED、OD，由題意可知AE=10，接下來，在△ADA中，依據銳角三角形的定義可求得AD的長，然后在△ADC中，可求得DC和AC的長，由OD∥AC可證明△BOD∽△BAC，然后由相似三角形的性質可列出關于BD的方程.

解：（1）如圖1，連接OD．

∵⊙O與BC相切于點D，

∴OD⊥BC，

∴∠ODB=90°，

∵∠C=90°，

∴∠C=∠ODB，

∴OD∥AC，

∴∠ODA=∠DAC，

∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠OAD=∠DAC，

∴AD平分∠BAC．

（2）如圖2，連接ED．

∵⊙O的直徑為10，AE是⊙O的直徑，

∴AE=10，∠EDA=90°，

∵∠EAD=∠DAC，sin∠DAC=，

∴sin∠EAD==，

∴DE=，

∴AD==，

同理可求DC=4，AC=8，

∵OD∥AC，

∴△BOD∽△BAC，

∴=，即=，解得：BD=．

“點睛”本題主要考查的是切線的性質、平行線的判定和性質、等腰三角形的性質、銳角三角函數的定義、相似三角形的判定和性質，列出關于BD的方程是解題的關鍵.