Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，已知A（﹣1，0），C（0，3）

（1）求該拋物線的表達式；

（2）求BC的解析式；

（3）點M是對稱軸右側點B左側的拋物線上一個動點，當點M運動到什么位置時，△BCM的面積最大？求△BCM面積的最大值及此時點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式y=-x2+2x+3；（2）BC的解析式為y=-x+3；（3）△BCM面積的最大值為，此時點M的坐標（， ）．

【解析】試題分析：

（1）將A、C坐標代入y=﹣x2+bx+c列方程組求得b、c的值即可求得解析式；

（2）由（1）中所求解析式可求得B的坐標，結合點C的坐標，用待定系數法可求得直線BC的解析式；

（3）過點M作MN∥y軸，交BC于點N，設點M的橫坐標為“m”，則由（1）、（2）所得解析式可表達出M、N的縱坐標，從而可表達出MN的長度，在由S△BCM=MN·OB即可用含“m”的式子表達出“S△BCM”，即可求得其最大值和此時點M的坐標.

試題解析：

（1）將A、C點坐標代入函數解析式，得
，
解得
拋物線的解析式y=-x2+2x+3；
（2）當y=0時，有-x2+2x+3=0，解得：x1=-1，x2=3，

∴點B的坐標為：（3，0），

設直線BC的解析式為：y=kx+n，把B、C的坐標代入可得： 解得； ，∴直線BC的解析式為：y=-x+3；
（3）如圖，過點M作MN∥y軸，交BC于點N，

設點M的坐標為，則點N的坐標為，

又∵點M在點N的上方，

∴MN=，

∴S△BCM=MN·OB

=

=

=.

∵點M是對稱軸右側、點B左側的拋物線上一個動點，

∴，

∴當時，S△BCM最大=.此時點M的坐標為.