Question

【題目】如圖，拋物線經過，兩點，點為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）動點從點出發，沿線段向終點作勻速運動，速度為每秒1個單位長度，運動時間為，過點作，交于點，以為正方形的一邊，向上作正方形，邊交于點，延長交于點．

①當為何值時，點落在拋物線上；

②在點運動過程中，是否存在某一時刻，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出此時刻的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在，

【解析】

（1）把點A、C坐標代入拋物線解析式得到關于a、b的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值，即可得解；

（2）根據拋物線解析式求出頂點B的坐標，然后根據相似三角形對應邊成比例用t表示出PM，再求出NE的長度，

①表示出點N的坐標，再根據點N在拋物線上，把點N的坐標代入拋物線，解方程即可得解；

②根據PM的長度表示出QD，再利用待定系數法求出直線BC的解析式，然后根據直線BC的解析式求出點R的橫坐標，從而求出QR的長度，再表示出EC的長度，然后根據平行四邊形對邊平行且相等列式求解即可．

解：（1）∵經過，兩點，

∴，

解得，所以，拋物線的解析式為

（2）∵，

∴點的坐標為，

∵拋物線的對稱軸與軸交于點，

∴，，

∵，∴，

∴，

∴即

解得，

所以，，

∵四邊形為正方形，

∴

①點的坐標為，

若點在拋物線上，則

整理得，，解得（舍去），，

所以，當秒時，點落在拋物線上；

②存在

理由如下：∵，四邊形為正方形，

∴，

設直線的解析式為，

將，兩點坐標分別代入，得

，解得

所以直線的解析式為，

則∴，解得，

所以，，

又，

根據平行四邊形的對邊平行且相等可得，

即，解得

此時點在上，

所以，當時，四邊形為平行四邊形