Question

在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD與等邊△EFG按如圖①所示放置：點(diǎn)B、G與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，F(xiàn)、B、G、C在x軸上，E、A、D三點(diǎn)同在平行于x軸的直線上．△EFG沿x軸向右勻速移動，當(dāng)點(diǎn)G移至與點(diǎn)C重合時(shí)，△EFG即停止移動．在△EFG移動過程中，與矩形ABCD的重合部分的面積S（cm²）與移動時(shí)間t（s）的一部分函數(shù)圖象是線段MN如圖②所示（即△EFG完全進(jìn)入矩形ABCD內(nèi)部時(shí)的一段函數(shù)圖象）
（1）結(jié)合圖②，求等邊△EFG的邊長和它移動的速度；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并在圖②中補(bǔ)全△EFG在整個(gè)移動過程中，S與t的函數(shù)關(guān)系式的大致圖象；
（3）當(dāng)△EFG移動（

3

+1）s時(shí)，E點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)的位置，一開口向下的拋物線y=

1

a

x2+bx，過P、O兩點(diǎn)且與射線AD相交于點(diǎn)H，與x軸相交于點(diǎn)Q（異于原點(diǎn)）．請問a是否存在取某一值或某一范圍，使OQ+PH的值為定值？如果存在，求出a值或a的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）此題的關(guān)鍵在于讀懂圖②的含義，首先能看出t值在（2～4）時(shí)，S是一個(gè)定值，可以得出兩個(gè)含義：
1、當(dāng)2≤t≤4時(shí)，△EFG在矩形ABCD內(nèi)部，此時(shí)S的值為等邊△EFG的面積，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的面積即可得到該三角形的邊長；
2、當(dāng)0≤t≤2時(shí)，△EFG與矩形的重疊部分的面積在時(shí)刻變化著，也就說明了這個(gè)過程中，點(diǎn)F從原位置運(yùn)動到了點(diǎn)O的位置（即FG的長），可以根據(jù)這個(gè)條件來求△EFG的移動速度．
（2）首先抓住兩個(gè)關(guān)鍵位置：①點(diǎn)E運(yùn)動到y(tǒng)軸上時(shí)，②點(diǎn)F運(yùn)動到y(tǒng)軸上時(shí)；那么此題可以分作三個(gè)階段討論：
1、當(dāng)點(diǎn)B、E位于y軸兩側(cè)時(shí)（即0≤t≤1時(shí)），△EFG和矩形ABCD的重疊部分是個(gè)小直角三角形，它的兩條直角邊可以三角形的運(yùn)動速度以及特殊角的正切值表示出來，則面積可求；
2、當(dāng)點(diǎn)E、F位于y軸兩側(cè)時(shí)（即1＜t≤2時(shí)），△EFG和矩形ABCD的重疊部分是個(gè)不規(guī)則四邊形，其面積可以由等邊三角形減去小直角三角形的面積所得；
3、當(dāng)△EFG完全處于矩形內(nèi)部時(shí)，它們重疊的部分就是整個(gè)等邊三角形，其面積是個(gè)定值（由圖②所給的部分函數(shù)可得）．
（3）雖然題設(shè)的條件較為復(fù)雜，但思路并不難，可以先根據(jù)△EFG的移動時(shí)間求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入給出的新拋物線解析式中，可得到a、b的關(guān)系式；而點(diǎn)O、H以及P、Q這兩組點(diǎn)都關(guān)于拋物線對稱軸對稱，可根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)表示出點(diǎn)H、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則OQ、PH的長可得，那么再判斷OQ+PH是否為定值，若是定值，再進(jìn)一步求a的取值范圍；
在求a的取值范圍時(shí)，可以根據(jù)拋物線開口向下（拋物線解析式的二次項(xiàng)系數(shù)小于0）以及PH≥0（點(diǎn)P、H可能重合，此時(shí)新拋物線頂點(diǎn)位于直線AD上）這兩個(gè)條件來解．

解答：解：（1）由圖②可知，△EFG的面積為3

3

cm²；
設(shè)△EFG的邊長為xcm，則其面積為：S_△EFG=

1

2

x•

3

2

x=3

3

，解得 x=2

3

（cm）；
由圖②可以看出：當(dāng)點(diǎn)F從原位置運(yùn)動到點(diǎn)O處過程中，△EFG與矩形ABCD重疊部分的面積時(shí)刻在變化著，整個(gè)過程共運(yùn)動了2s，所以有：
△EFG的移動速度：v=

2 3 cm

2s

=

3

m/s；
綜上，等邊△EFG的邊長為2

3

cm，它的移動速度為

3

m/s．

（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到y(tǒng)軸上時(shí)，t=1s；當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動到y(tǒng)軸上時(shí)，t=2s；
∴分三個(gè)階段討論（如右圖）：
①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，S=

1

2

3

t•（

3

×

3

t）=

3 3

2

t²；
②當(dāng)1＜t≤2時(shí)，S_△ONF′=

1

2

•（2

3

-

3

t）•

3

（2

3

-

3

t）=

3 3

2

（2-t）²，
所以，重疊部分的面積為：S=S_{△E′F′G′}-S_△ONF′=

1

2

×2

3

×（

3

2

×2

3

）-

3 3

2

（2-t）²=3

3

-

3 3

2

（2-t）²；
③當(dāng)2≤t≤4時(shí)，S=

1

2

×2

3

×（

3

2

×2

3

）=3

3

；
綜上，S=

3 3 2 t2 (0≤t≤1) - 3 3 2 (t-2)2+3 3  (1＜t≤2) 3 3  (2≤t≤4)

，圖象如下：


（3）∵△EFG移動（

3

+1）秒，速度為每秒

3

cm，
∴EP=

3

（

3

+1）=3+

3

，
∴AP=3+

3

-

3

=3，
∴點(diǎn)P（3，3），
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴ab=a-3，
∵拋物線y=

1

a

x²+bx的對稱軸為直線x=-

b

2× 1 a

=-

ab

2

，
∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-ab，0），
拋物線開口向下，a＜0，P、H關(guān)于x=-

ab

2

對稱，
當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)P右側(cè)時(shí)，
PH=2（-

ab

2

-3）=-ab-6=-（a-3）-6=-a+3-6=-a-3，
∴OQ+PH=2×（-

ab

2

）-a-3=-（a-3）-a-3=-a+3-a-3=-2a，
此時(shí)OQ+PH不是定值，舍去；
當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)P左側(cè)時(shí)，
PH=2（3+

ab

2

）=ab+6，
∴OQ+PH=2×（-

ab

2

）+（-a-3）=-ab+ab+6=6，
∴OQ+PH的定值為6，
∵PH≥0，
∴ab+6≥0，
即a-3+6≥0，
解得a≥-3，
又∵a＜0，
∴-3≤a＜0，
綜上，OQ+PH的定值為6，此時(shí)相應(yīng)的a的取值范圍是-3≤a＜0．

點(diǎn)評：此題主要考查的是分段函數(shù)問題，涉及了圖形的平移、圖形面積的解法、等邊三角形的性質(zhì)以及拋物線的性質(zhì)（包括：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及拋物線的對稱性）等重要知識點(diǎn)；（2）題中，要注意抓住圖形運(yùn)動過程中的關(guān)鍵位置，以便在分段討論時(shí)做到“不重不漏”的要求；（3）題中，點(diǎn)P可能位于拋物線對稱軸的左側(cè)，也可能位于對稱軸的右側(cè)，這是容易漏解的地方．