Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為邊BC上的一點，連接AD，過點C作AD的垂線，交過點B與邊AC平行的直線于點E，CE交邊AB于點F.

（1）求∠EBF的度數；

（2）求證：△ACD≌△CBE;

（3）若AD平分∠BAC，判斷△BEF的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）∠EBF=45°；（2）證明見詳解；（3）△BEF是等腰三角形.

【解析】

（1）運用等腰三角形的性質與平行線的性質即可得出結論；

（2）根據“角邊角”可證明出△ACD≌△CBE；

（3）根據△ACD≌△CBE可得∠E=∠ADC=67.5°，由（1）可知∠EBF=45°，即可得出∠BFE=67.5°，則∠E=∠BFE，即可證明得△BEF是等腰三角形.

（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠ABC=∠CAB=45°，

∵BE∥AC，

∴∠CBE+∠ACB=180°，

∴∠CBE=90°，

∴∠EBF=45°.

（2）證明：∵AD⊥CE，

∴∠ACE+∠CAD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠BCE=90°，

∴∠CAD=∠BCE，

∵AC=BC，∠ACB=∠CBE=90°，

∴△ACD≌△CBE；

（3）解：△BEF是等腰三角形，

理由如下：∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=22.5°，

∵△ACD≌△CBE，

∴∠E=∠ADC=67.5°，

由（1）可知，∠EBF=45°，

∴∠BFE=180°-45°-67.5°=67.5°，

∴∠E=∠BFE，

∴△BEF是等腰三角形.