Question

二次函數y=ax²+bx+6（a≠0）的圖象交y軸于C點，交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側），點A、點B的橫坐標是一元二次方程x²-4x-12=0的兩個根．
（1）求出點A、點B的坐標及該二次函數表達式．
（2）如圖2，連接AC、BC，點Q是線段OB上一個動點（點Q不與點O、B重合），過點Q作QD∥AC交于BC點D，設Q點坐標（m，0），當△CDQ面積S最大時，求m的值．
（3）如圖3，線段MN是直線y=x上的動線段（點M在點N左側），且MN=，若M點的橫坐標為n，過點M作x軸的垂線與x軸交于點P，過點N作x軸的垂線與拋物線交于點Q．以點P，M，Q，N為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，請求出n的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）解一元二次方程x²-4x-12=0可求A、B兩點坐標；將A、B兩點坐標代入二次函數y=ax²+bx+6，可求二次函數解析式；
（2）由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面積，利用三角形面積公式表示△ACQ的面積，根據S_△CDQ=S_△ABC-S_△BDQ-S_△ACQ，運用二次函數的性質求面積最大時，m的值；
（3）以點P，M，Q，N為頂點的四邊形能為平行四邊形，因為M，N的位置不確定，所以要分三種情況討論，求出滿足題意的n值即可．
解答：解：（1）∵一元二次方程x²-4x-12=0的兩個根，分別是x=-6或2，點A、點B的橫坐標是方程的兩個根，點A在點B的左側，
∴A（-2，0）、B（6，0），將A、B兩點坐標代入二次函數y=ax²+bx+6，得
，
解得，
故y=-x²+2x+6；

（2）依題意，得AB=8，QB=6-m，AQ=m+2，OC=6，則S_△ABC=AB×OC=24，
∵由DQ∥AC，
∴△BDQ∽△BCA，
=（）²=（）²，
即S_△BDQ=（m-6）²，
又∵S_△ACQ=AQ×OC=3m+6，
∴S=S_△ABC-S_△BDQ-S_△ACQ=24-（m-6）²-（3m+6）=-m²+m+=-（m-2）²+6，
∴當m=2時，S最大；

（3）∵MN=，點A，B都在直線y=x上，MN在直線AB上，MN在線段 AB上，M的橫坐標為n，縱坐標也為n，
如圖3，過點M作x軸的平行線，過點N作y軸的平行線，它們相交于點H．
∴△MHN是等腰直角三角形．
∴MH=NH=1．
∴點N的坐標為（n+1，n+1），
①如圖4，當n＞0時，PM=n，
NQ=n+1-[-（n+1）²+2（n+1）+6]，
當四邊形PMQN為平行四邊形時，PM=NQ．
則n=n+1-[-（n+1）²+2（n+1）+6]，
解得n=1+或-1；
②如圖5，當n＜0時，PM=-m，
NQ=n+1-[-（n+1）²+2（n+1）+6]，
當四邊形PMQN為平行四邊形時，PM=NQ．
則-n=n+1-[-（n+1）²+2（n+1）+6]，
解得n=1-或-1-，
③∵直線AB過O，即直線經過第一、三象限，
∴點M在第3象限點N在第2象限不存在；
綜上所述以點P，M，Q，N為頂點的四邊形能為平行四邊形，n的值是n=1±，或n=-1±．
點評：本題考查了二次函數性質的綜合運用、用待定系數法求出二次函數的解析式和平行四邊形的判定和性質以及相似三角形的性質和判定既數學分類討論思想的運用，題目的綜合性強，難度大，能夠很好的鍛煉學生的解題能力．