Question

【題目】已知二次函數y=x2+bx+c，其圖象拋物線交x軸于點A（1，0），B（3，0），交y軸于點C，直線l過點C，且交拋物線于另一點E（點E不與點A、B重合）．
（1）求此二次函數關系式；
（2）若直線l1經過拋物線頂點D，交x軸于點F，且l1∥l，則以點C、D、E、F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點E的坐標；若不能，請說明理由．
（3）若過點A作AG⊥x軸，交直線l于點G，連接OG、BE，試證明OG∥BE．

Answer 1

【答案】
（1）

解：二次函數y=x2+bx+c，其圖象拋物線交x軸于點A（1，0），B（3，0），

∴ ，

解得： ，

∴此二次函數關系式為：y=x2﹣4x+3；

（2）

解：假設以點C、D、E、F為頂點的四邊形能成為平行四邊形．

①若CD為平行四邊形的對角線，如答圖2﹣1．

過點D作DM⊥AB于點M，過點E作EN⊥OC于點N，

∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴點D（2，﹣1），點C（0，3），

∴DM=1，

∵l1∥l，

∴當CE=DF時，四邊形CEDF是平行四邊形，

∴∠ECF+∠CFD=180°，

∵∠OCF+∠OFC=90°，

∴∠ECN+∠DFM=90°，

∵∠DFM+∠FDM=90°，

∴∠ECN=∠FDM，

在△ECN和△FDM中，

，

∴△ECN≌△FDM（AAS），

∴CN=DM=1，

∴ON=OC﹣CN=3﹣1=2，

當y=2時，x2﹣4x+3=2，

解得：x=2± ；

當x=2± 時，可得E（2+ ，2），F（﹣ ，0）或E（2﹣ ，2，），F（ ，0），

此時四邊形CFDE為平行四邊形．

②若CD為平行四邊形的邊，如答圖2﹣2，則EF∥CD，且EF=CD．

過點D作DM⊥y軸于點M，則DM=2，OM=1，CM=OM+OC=4；

過點E作EN⊥x軸于點N．

易證△CDM≌△EFN，∴EN=CM=4．

∴x2﹣4x+3=4，

解得：x=2± ．

綜上所述，以點C、D、E、F為頂點的四邊形能成為平行四邊形；點E的坐標為（2+ ，2）、（2﹣ ，2）、（2+ ，4）、（2﹣ ，4）．

（3）

解：如圖②，過點E作EH⊥x軸于點H，

設直線CE的解析式為：y=kx+3，

∵A（1，0），AG⊥x軸，

∴點G（1，k+3），

即OA=1，AG=k+3，

∵E是直線與拋物線的交點，

∴ ，

解得： ，

∴點E（k+4，（k+1）（k+3）），

∴BH=OH﹣OB=k+1，EH=（k+1）（k+3），

∴ ，

∵∠OAG=∠BHE=90°，

∴△OAG∽△BHE，

∴∠AOG=∠HBE，

∴OG∥BE．

【解析】（1）由二次函數y=x2+bx+c，其圖象拋物線交x軸于點A（1，0），B（3，0），直接利用待定系數法求解，即可求得此二次函數關系式；（2）以點C、D、E、F為頂點的四邊形構成平行四邊形，有兩種情形，需要分類討論，避免漏解：①若CD為平行四邊形的對角線，如答圖2﹣1所示；②若CD為平行四邊形的邊，如答圖2﹣2所示；（3）首先過點E作EH⊥x軸于點H，設直線CE的解析式為：y=kx+3，然后分別求得點G與E的坐標，即可證得△OAG∽△BHE，則可得∠AOG=∠HBE，繼而可證得OG∥BE．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的圖象和二次函數的性質，需要了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．