Question

（2013•海門市二模）已知關于x的一元二次方程x²+2（k-1）x+k²-1=0有兩個不相等的實數根．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）0可能是方程的一個根嗎？若是，請求出它的另一個根；若不是，請說明理由；
（3）若此方程的兩個實數根的平方和為30，求實數k．

Answer 1

分析：（1）根據題意可得△＞0，再代入相應數值解不等式即可；
（2）把x=0代入原方程中得k²-1=0，解出k的值，再把k的值代入x²+2（k-1）x+k²-1=0，解方程即可；
（3）設此方程的兩個實數根為x₁，x₂，根據根與系數的關系可得x₁+x₂=-2（k-1），x₁•x₂=k²-1，根據“方程的兩個實數根的平方和為30”可得x₁²+x₂²=30，整理后可得[-2（k-1）]²-2（k²-1）=30，再解出k的值．

解答：解：（1）由題意得：△=[2（k-1）]²-4×1×（k²-1）＞0，
解得：k＜1，
故實數k的取值范圍為k＜1．

（2）0可能是方程的一個根，
把x=0代入原方程中，k²-1=0，
∴k=±1，
∵k＜1，
∴k=-1，
此時方程x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=4，
故它的另一個根是4．

（3）設此方程的兩個實數根為x₁，x₂
則x₁+x₂=-2（k-1），x₁•x₂=k²-1，
∵x₁²+x₂²=30，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=30，
∴[-2（k-1）]²-2（k²-1）=30，
 整理得k²-4k-12=0，
解得：k₁=-2，k₂=6，
∵k＜1，
∴k=-2．

點評：此題主要考查了根的判別式，一元二次方程的解，以及根與系數的關系，關鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根．
以及根與系數的關系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．