Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC=1，E、F為線段AB上兩動點，且∠ECF=45°，過點E、F分別作BC、AC的垂線相交于點M，垂足分別為H、G．現有以下結論：①AB=；②AF+BE=EF；③當點E與點B重合時，MH=；其中正確結論的個數是(　　)

A.0B.1C.2D.3

Answer 1

【答案】C

【解析】

由題意知，△ABC是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形即可對①作出判斷；如圖1，當點E與點B重合時，點H與點B重合，可得MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，進一步得到FG是△ACB的中位線，從而對③作出判斷；如圖2所示，SAS可證△ECF≌△ECD，根據全等三角形的性質和勾股定理即可對②作出判斷，進而得到答案；

解：①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，

∴，故①正確；

如圖1，當點E與點B重合時，點H與點B重合，

∴MB⊥BC，∠MBC=90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，
∴MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，
∴CF=AF=BF，
∴FG是△ACB的中位線，

∴當點E與點B重合時，MH=，故③正確；

如圖2所示，

∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠5=45°．
將△ACF順時針旋轉90°至△BCD，
則CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°，BD=AF；
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2．

，

∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF=DE．
∵∠5=45°，
∴∠DBE=90°，

∴，即：，故②錯誤；

綜上，有兩個結論正確，

故選：C；