Question

【題目】已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合）．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．
（1）如圖1，當點D在線段BC上時，求證：BD⊥CF．BD=CF．

（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其它條件不變，第（1）問結論還成立嗎？并說明理由．

（3）如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A、F分別在直線BC的兩側，其它條件不變：

①請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關系．
②若連接正方形對角線AE、DF，交點為O，連接OC，探究△AOC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF，∠ACF=∠ABD=45°，

∴∠ACF+∠ACB=90°，

∴BD⊥CF；

（2）

（1）的結論仍然成立，理由：

∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，

∠CAF=∠DAF+∠CAD=90°+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAD，

在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF，∠ACF=∠ABD=45°

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°

∴BD⊥CF．

（3）

①BC、CD與CF的關系：CD=BC+CF

理由：與（1）同法可證△BAD≌△CAF，從而可得：

BD=CF，

即：CD=BC+CF

②△AOC是等腰三角形

理由：與（1）同法可證△BAD≌△CAF，可得：∠DBA=∠FCA，

又∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

則∠ABD=180°﹣45°=135°，

∴∠ABD=∠FCA=135°

∴∠DCF=135°﹣45°=90°

∴△FCD為直角三角形．

又∵四邊形ADEF是正方形，對角線AE與DF相交于點O，

∴OC= DF，

∴OC=OA

∴△AOC是等腰三角形

【解析】（1）設法證明△BAD≌△CAF與∠FCD=90°即可；（2）與（1）同法；（3）中的①與（1）相同，可證明BD=CF，又點D、B、C共線，故：CD=BC+CF；②由（1）猜想并證明BD⊥CF，從而可知△FCD為直角三角形，再由正方形的對角線的性質判定△AOC三邊的特點，再進一步判定其形狀．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）才能正確解答此題．