Question

已知：如圖(1)，在平行四邊形ABCD中，對角線CA⊥BA，AB＝AC＝8cm，四邊形A₁B₁C₁D₁是平行四邊形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉45°得到的，A₁D₁經過點C，B₁C₁分別與AB、BC相交于點P、Q．
（1）求四邊形CD₁C₁Q的周長；(保留無理數，下同)
（2）求兩個平行四邊形重合部分的四邊形APQC的面積S；
（3）如圖(2)，將平行四邊形A₁B₁C₁D₁以每秒1cm的速度向右勻速運動，當運動到B₁C₁在直線AC上時停止運動．設運動的時間為x（秒），兩個平行四邊形重合部分的面積為y（cm²）．求y關于x的函數關系式，并探索是否存在一個時刻x，使得y取最大值，若存在，請你求出這個最大值；若不存在，請你說明理由．

Answer 1

解：(1)由條件可知 △ABC和△ADC都是等腰直角三角形，
∴ ∠BCA＝∠D₁＝45°，∴ CQ∥D₁C₁，∴ 四邊形CD₁C₁Q是平行四邊形．
∴ C₁D₁＝B₁A₁＝AB＝8, 
CD₁＝A₁D₁－AC＝8－8． 
∴ 四邊形CD₁C₁Q的周長為 [(8－8)＋8]×2＝16(cm) ．
(2) 如圖①，在等腰直角△A₁B₁P中，A₁B₁＝8，
∴ PA₁＝4，PQ＝BP＝8－4．
∴ 兩個平行四邊形重合部分的面積為
S＝＝(32－16)(cm²) ．
(3)當平行四邊形A₁B₁C₁D₁運動到點C₁在BC上時，如圖②，則C₁與Q重合，
這時運動距離為C₁H (如圖①)， ∴C₁ H＝QC₁＝CD₁＝8－8
這時運動時間 x＝8－8．

①若0≤x≤8－8，如圖③，AA₁＝x,  AP＝4－x，
PQ＝BP＝AB－AP＝8－(4－x)＝x＋8－4,  A₂C₂＝8－x．
y＝S_{四邊形ABCD}－S_△BPQ－S_△A2C2D＝AB×AC－×BP²－×C₂D²
＝8×8－×(x＋8－4)²－×(8－x)²＝－x²＋4x＋32－16．
∵， 0＜＜8－8  ,
∴ 當x＝時，y_最大1＝32－8．
②若8－8≤x≤4,如圖④, P C₁＝PA₁＝4, AA₁＝A₁A₂＝x，
C₂C₃＝C₂D₁＝8－8．
y＝S_{梯形A1PC1D1}－S_△AA1A2－S_△C2C3D1
＝＝－x²＋64－48．
∵ －＜0, ∴ 當x＞0時，隨的增大而減小，
∴x在8－8≤x≤4范圍內，也是隨的增大而減小,
∴ 當x＝8－8時，y_最大2＝128－144．
∵ y_最大2＝128－144＝(32－8)＋(96－136)＝y_最大1＋8(12－17)
且8(12－17)＜0，∴ y_最大2＜y_最大1 ．（得出結論即可）
∴當x＝2秒時，y取最大值,這個最大值是(32－8)cm²．

解析