Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．
（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數根：
（2）若x1 ， x2是原方程的兩根，且|x1﹣x2|=2 ，求m的值，并求出此時方程的兩根．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△=（m+3）2﹣4（m+1）

=（m+1）2+4，

∵無論m取何值，（m+1）2+4恒大于0，

∴原方程總有兩個不相等的實數根

（2）∵x1，x2是原方程的兩根，

∴x1+x2=﹣（m+3），x1x2=m+1，

∵|x1﹣x2|=2 ∴（x1﹣x2）2=（2 ）2，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8，

∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）=8∴m2+2m﹣3=0，

解得：m1=﹣3，m2=1．

當m=﹣3時，原方程化為：x2﹣2=0，

解得：x1= ，x2=﹣ ，

當m=1時，原方程化為：x2+4x+2=0，

解得：x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣

【解析】（1）根據關于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的根的判別式△=b2﹣4ac的符號來判定該方程的根的情況；（2）根據根與系數的關系求得x1+x2=﹣（m+3），x1x2=m+1；然后由已知條件“|x1﹣x2|=2 ”可以求得（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=8，從而列出關于m的方程，通過解該方程即可求得m的值；最后將m值代入原方程并解方程．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解求根公式的相關知識，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根，以及對根與系數的關系的理解，了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商．