Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）連接，求周長的最小值；

（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)．使以為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）先求出點(diǎn)B，點(diǎn)C坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求解析式；

（2）由△OCD周長=6+OD+CD，可得OD+CD有最小值時(shí)，△OCD周長的存在最小值，作點(diǎn)O關(guān)于對稱軸x=2的對稱點(diǎn)O'（4，0），當(dāng)點(diǎn)C，點(diǎn)D，點(diǎn)O'共線時(shí)，O'D+CD的值最小，最小值為CO'的長，即可求解；

（3）分兩種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)可求解．

（1），

令，得，令，得，，

設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式，得

，解得．

直線的函數(shù)表達(dá)式為；

（2），

拋物線的對稱軸為直線．

的值固定，

要求周長的最小值，只需求出的最小值．

如解圖①，作點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，連接交拋物線對稱軸于點(diǎn)，此時(shí)有最小值，即的長，

則

，

．

，

周長的最小值為；

（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

∵以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是以BC為邊的平行四邊形，

∴xB-xD=xC-xE，或xD-xC=xE-xB，

∴6-2=0-xE，或2-0=xE-6

∴xE=-4或8，

∴點(diǎn)E（-4，-10）或（8，-10）